A + B = Cに天井を：指数は24
共通の約数をもたない3つの整数で、a + b = cと書いてみよう。次に、a、b、cのいずれかを割り切る素数を書き出し、それぞれ1回だけ使って掛け合わせる。その結果をNと呼ぶ。
たいていの場合、Nはcよりずっと大きい。2 + 3 = 5なら、素数は2、3、5なので、N = 30となり、5をはるかに上回る。しかし、数がごく少数の、ごく小さな素数だけからできていることもある。1 + 8 = 9では、素数は2と3だけなので、N = 6となり、cより小さい。1 + 80 = 81では、80 = 2⁴ × 5、81 = 3⁴なので、Nは30だが、cは81だ。
小さな素数で、大きな和？
これはどこまで行けるのだろうか。Nが小さいままで、cが巨大になることはありうるのか。MasserとOesterléのabc予想は、ありえないと言う。cはNのある累乗より小さいままだというのだ。整数についてのほかのいくつかの命題が、この予想から導かれることが知られている。
2026年11月3日に公開されたプレプリントで、フランスのビュール＝シュル＝イヴェットにあるCNRSと高等科学研究所（IHÉS）に所属するChristophe Souléが、その弱い形の証明を発表した。
c ≤ A(ε) · N^(24+ε)
ここでεは任意の正の数で、いくらでも小さくとれる。A(ε)はεだけに依存する定数だ。言葉で言えば、cはNのおよそ24乗の一定倍を決して超えられない。N = 30なら、その天井は約3 × 10³⁵に定数を掛けたものになる。巨大だが、固定された値だ。
著者は、これが予想そのものではないことをはっきり述べている。論文の言葉を借りれば、ここでabcの法則が導かれるのは「間違った指数をともなってではあるが」である。
曲線を経由する回り道
証明は回り道をする。主結果は種数2の曲線、つまりある特定の複雑さをもつ2変数の方程式に関するものだ。そのような曲線について、論文は解の「高さ」（その数を書き表すとどれほど大きくなるかを測る尺度）を、解が属する数の体系に付随するある量の12 + ε倍で抑えている。Vojtaによるもっと野心的な予想は、12 + εの代わりに1 + εを置く。
そのような上界がある形のabcを導くことは、Moret-Baillyの研究によってすでに知られていた。この戦略自体は、Parshin、続いてMoret-Baillyが提案したものだ。Souléはそれを実行に移した。
- 小平による構成によって、種数2の曲線に種数6の曲線の族がまるごと対応づけられる。
- 族の各曲線で測られるある量、すなわち算術的な「自己交点数」が、高さであることがわかる。中心となる定理は、これに36 + εという係数で天井を設ける。
- そこにたどり着くため、論文は算術曲面の交点理論、逐次最小に関するミンコフスキーの定理、そしてVoisinの「助けを借りて」行われた種数3と種数6の曲線上の計算を組み合わせている。
そして指数24は、ある特定の曲線y² + y = x⁵から出てくる。この曲線から直線への次数5の写像を通じて、係数12は5/2 × 12 = 30になる。さらに判別式の評価によってこれに4/5が掛かり、24が得られる。
より弱い定数での帰結
論文によれば、abcから導かれる既知の帰結も、その結果から「より弱い定数で」導かれる。論文は2つの例を証明している。
- 楕円曲線に関するSzpiro予想の弱い形。係数は144 (1 + log 24) + εである。
- 数論のある関数族、すなわち負の判別式をもつ二次指標のL関数について、いわゆるジーゲル零点が存在しないこと。これはGranvilleとStarkの議論によるもので、論文が指摘するように、この議論は1 + ε以外の指数でも機能する。論文はこの問題についての最近の2つのプレプリントにも言及している。
まだ検証が必要
これは単独の著者による39ページの証明で、数論幾何の高度な言語で書かれており、まだ査読を経ていない。著者は26人の同僚に助力への謝意を述べているが、それは同僚たちが証明を検証したことを意味しない。論文は、定数A(ε)を明示的に計算できるかどうかについては述べていない。
議論が正しければ、和a + b = cには固定された指数をもつ天井ができる。予想が求める指数にはまだ届かないが、24だ。