a + b = c साठी एक कमाल मर्यादा, घातांक 24 सह

एकमेकांत कोणताही सामाईक अवयव नसलेल्या तीन पूर्ण संख्यांनी a + b = c लिहा. आता a, b किंवा c ला भाग जाणाऱ्या मूळ संख्यांची यादी करा, आणि त्यांचा गुणाकार करा, प्रत्येक मूळ संख्या एकदाच घेऊन. त्या निकालाला N म्हणा.

बहुतेक वेळा N हा c पेक्षा खूप मोठा असतो. 2 + 3 = 5 घ्या: मूळ संख्या 2, 3 आणि 5 आहेत, म्हणून N = 30, म्हणजे 5 पेक्षा कितीतरी जास्त. पण कधी कधी या संख्या अगदी थोड्या, अगदी लहान मूळ संख्यांपासून बनलेल्या असतात. 1 + 8 = 9 मध्ये फक्त 2 आणि 3 या मूळ संख्या आहेत, म्हणून N = 6 — c पेक्षा कमी. 1 + 80 = 81 मध्ये, 80 = 2⁴ × 5 आणि 81 = 3⁴ असल्याने, N हा 30 आहे, तर c हा 81.

लहान मूळ संख्या, मोठ्या बेरजा?

हे कुठवर जाऊ शकते? N लहान राहूनही c प्रचंड मोठा असू शकतो का? Masser आणि Oesterlé यांचे abc अनुमान (abc conjecture) सांगते की असे होऊ शकत नाही: c हा N च्या एका घाताखालीच राहतो. पूर्ण संख्यांविषयीची इतर अनेक विधाने त्यातून निष्पन्न होतात, हे ज्ञात आहे.

3 नोव्हेंबर 2026 रोजी टाकलेल्या एका प्रीप्रिंटमध्ये, फ्रान्समधील Bures-sur-Yvette येथील CNRS आणि Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) येथील Christophe Soulé त्याच्या एका दुर्बल रूपाच्या पुराव्याची घोषणा करतात:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

येथे ε ही कोणतीही धन संख्या आहे, हवी तितकी लहान, आणि A(ε) हा केवळ तिच्यावर अवलंबून असणारा एक स्थिरांक. शब्दांत सांगायचे तर: c कधीही N च्या साधारण 24 व्या घाताच्या एका निश्चित पटीपेक्षा मोठा होऊ शकत नाही. N = 30 साठी ही कमाल मर्यादा सुमारे 3 × 10³⁵ गुणिले एक स्थिरांक इतकी आहे — प्रचंड, पण निश्चित.

लेखक स्पष्टपणे सांगतात की हे स्वतः अनुमान नाही: शोधनिबंधाच्याच शब्दांत, abc नियम येथे “चुकीच्या घातांकासह का होईना” निष्पन्न होतो.

वक्रांमार्गे एक वळसा

पुरावा एक वळसा घेतो. त्याचा मुख्य निकाल जीनस (genus) 2 च्या वक्रांविषयी आहे — विशिष्ट जटिलतेची, दोन अज्ञातांमधील समीकरणे. अशा वक्रासाठी, शोधनिबंध त्याच्या उकलींच्या “उंचीवर” — त्यांच्या संख्या लिहायला किती मोठ्या आहेत याचे एक माप — मर्यादा घालतो: उकली ज्या संख्या-प्रणालीत राहतात तिच्याशी निगडित एका राशीच्या 12 + ε पट. Vojta यांचे एक अधिक महत्त्वाकांक्षी अनुमान 12 + ε च्या जागी 1 + ε ठेवेल.

Moret-Bailly यांच्या कामातून हे आधीच ज्ञात होते की अशी मर्यादा abc चे एक रूप सूचित करते. ही रणनीती स्वतः आधी Parshin यांनी, मग Moret-Bailly यांनी सुचवली होती. Soulé ती प्रत्यक्षात उतरवतात:

1. Kodaira यांची एक रचना जीनस-2 वक्राला जीनस 6 च्या वक्रांचे एक संपूर्ण कुटुंब जोडते.
2. या कुटुंबातील प्रत्येक वक्रावर मोजली जाणारी एक राशी, त्याचे अंकगणितीय “स्व-छेदन” (self-intersection), ही एक उंचीच असल्याचे दिसून येते. मध्यवर्ती प्रमेय तिच्यावर 36 + ε या गुणकासह कमाल मर्यादा घालते.
3. तिथवर पोहोचण्यासाठी, शोधनिबंध अंकगणितीय पृष्ठांसाठीचा छेदन सिद्धांत (intersection theory), क्रमिक लघुतमांवरील (successive minima) Minkowski यांचे प्रमेय, आणि Voisin यांच्या “मदतीने” केलेली जीनस 3 आणि 6 च्या वक्रांवरील आकडेमोड, यांची सांगड घालतो.

घातांक 24 मग एका विशिष्ट वक्रातून, y² + y = x⁵ मधून, मिळतो. रेषेवरील त्याच्या घात 5 च्या प्रतिचित्रणामुळे, गुणक 12 चा 5/2 × 12 = 30 होतो; त्यानंतर एका विविक्तकाच्या (discriminant) अंदाजाने तो 4/5 ने गुणला जातो, आणि मिळतो 24.

परिणाम, अधिक दुर्बल स्थिरांकांसह

शोधनिबंधानुसार, abc चे ज्ञात परिणाम त्याच्या निकालांतूनही, “अधिक दुर्बल स्थिरांकांसह”, निष्पन्न होतात. तो दोन उदाहरणे सिद्ध करतो:

• दीर्घवर्तुळाकार वक्रांवरील Szpiro यांच्या अनुमानाचे एक दुर्बल रूप, 144 (1 + log 24) + ε या गुणकासह;
• संख्या-सिद्धांतातील फलनांच्या एका कुटुंबासाठी, म्हणजे ऋण विविक्तक असलेल्या द्विघाती लक्षणांच्या (quadratic characters) L-फलनांसाठी, तथाकथित Siegel शून्यांचा अभाव — Granville आणि Stark यांच्या एका युक्तिवादाने, जो, शोधनिबंधाच्या नोंदीनुसार, 1 + ε व्यतिरिक्त इतर घातांकासहही चालतो. शोधनिबंध त्या प्रश्नावरील अलीकडच्या आणखी दोन प्रीप्रिंटचाही संदर्भ देतो.

अजून तपासणी बाकी

हा एकाच लेखकाचा, अंकगणितीय भूमितीच्या प्रगत भाषेत लिहिलेला 39 पानांचा पुरावा आहे, आणि त्याचे अद्याप समकक्ष समीक्षण झालेले नाही. लेखक 26 सहकाऱ्यांचे त्यांच्या मदतीबद्दल आभार मानतात, पण याचा अर्थ त्या सहकाऱ्यांनी तो तपासला आहे असा नाही. स्थिरांक A(ε) स्पष्टपणे मोजता येतो की नाही, हे शोधनिबंध सांगत नाही.

युक्तिवाद टिकला, तर a + b = c या बेरजांना एका निश्चित घातांकासह कमाल मर्यादा मिळेल: अनुमानाला हवा असलेला घातांक अद्याप नव्हे, तर 24.