UN PLAFOND POUR A + B = C, AVEC L'EXPOSANT 24

Écrivez a + b = c avec trois nombres entiers qui n’ont aucun facteur commun. Faites la liste des nombres premiers qui divisent a, b ou c, puis multipliez-les entre eux, chacun une seule fois. Appelez le résultat N.

La plupart du temps, N est bien plus grand que c. Prenez 2 + 3 = 5 : les nombres premiers sont 2, 3 et 5, donc N = 30, très au-dessus de 5. Mais parfois, les nombres sont faits de très peu de nombres premiers, et très petits. Dans 1 + 8 = 9, les seuls nombres premiers sont 2 et 3, donc N = 6 — moins que c. Dans 1 + 80 = 81, avec 80 = 2⁴ × 5 et 81 = 3⁴, N vaut 30, alors que c vaut 81.

Petits nombres premiers, grosses sommes ?

Jusqu’où cela peut-il aller ? c peut-il être énorme quand N reste petit ? La conjecture abc de Masser et Oesterlé dit que non : c reste sous une constante fois une puissance de N, et cette puissance peut être prise aussi proche de 1 qu’on veut. Plusieurs autres énoncés sur les nombres entiers sont connus pour en découler.

Dans une prépublication déposée le 3 novembre 2026, Christophe Soulé, du CNRS et de l’Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) à Bures-sur-Yvette, annonce la preuve d’une forme faible :

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

Ici ε est un nombre positif quelconque, aussi petit qu’on veut, et A(ε) une constante qui ne dépend que de lui. En mots : c ne peut jamais dépasser un multiple fixe de N puissance 24 environ. Pour N = 30, ce plafond vaut environ 3 × 10³⁵ fois une constante — énorme, mais fixe.

L’article dit clairement que ce n’est pas la conjecture elle-même : la règle abc s’en déduit ici « avec un exposant faux », selon les termes de l’article.

Un détour par les courbes

La preuve fait un détour. Son résultat principal porte sur les courbes de genre 2 — des équations à deux inconnues d’une certaine complexité. Pour une telle courbe, l’article borne la « hauteur » de ses solutions, une mesure de la taille des nombres qu’il faut pour les écrire, par 12 + ε fois une quantité liée au système de nombres où vivent les solutions. Une conjecture plus ambitieuse de Vojta mettrait 1 + ε à la place de 12 + ε.

On savait déjà, grâce aux travaux de Moret-Bailly, qu’une telle borne entraîne une forme d’abc. La stratégie elle-même avait été proposée par Parshin, puis Moret-Bailly. Soulé la mène à bien :

1. Une construction due à Kodaira associe à la courbe de genre 2 toute une famille de courbes de genre 6.
2. Une quantité mesurée sur chaque courbe de la famille, son « auto-intersection » arithmétique, se révèle être une hauteur. Le théorème central la plafonne, avec un facteur 36 + ε.
3. Pour y arriver, l’article combine la théorie de l’intersection sur les surfaces arithmétiques, le théorème de Minkowski sur les minima successifs, et des calculs sur des courbes de genre 3 et 6 menés « avec l’aide de » Voisin.

L’exposant 24 sort ensuite d’une courbe précise, y² + y = x⁵. Deux étapes techniques sur cette courbe changent le facteur 12 de la borne sur le genre 2 en exposant : la première, qui passe par une application de degré 5 de la courbe sur une droite, le multiplie par 5/2, ce qui donne 30 ; la seconde, l’estimation d’une quantité appelée discriminant, le multiplie par 4/5, ce qui donne 24.

Des conséquences, avec des constantes plus faibles

Selon l’article, les conséquences connues d’abc découlent aussi de ses résultats, « avec des constantes plus faibles ». Il en prouve deux exemples :

• une forme faible de la conjecture de Szpiro sur les courbes elliptiques, avec un facteur 144 (1 + log 24) + ε ;
• l’absence de zéros de Siegel pour une famille de fonctions de la théorie des nombres, les fonctions L de caractères quadratiques de discriminant négatif — par un argument de Granville et Stark qui, note l’article, marche avec un autre exposant que 1 + ε. L’article renvoie aussi à deux autres prépublications récentes sur cette question.

Reste à vérifier

C’est une preuve de 39 pages, par un seul auteur, écrite dans la langue avancée de la géométrie arithmétique, et elle n’a pas encore été relue par des pairs. L’auteur remercie 26 collègues pour leur aide, mais cela ne veut pas dire qu’ils l’ont vérifiée. L’article ne dit pas si la constante A(ε) peut être calculée explicitement.

Si l’argument tient, les sommes a + b = c auront un plafond à exposant fixe : pas encore celui que demande la conjecture, à peine plus que 1, mais 24.