a + b = cకి ఒక పైకప్పు, ఘాతం 24తో

ఉమ్మడి కారణాంకం ఏదీ లేని మూడు పూర్ణ సంఖ్యలతో a + b = c అని రాయండి. ఇప్పుడు a, b లేదా cని భాగించే ప్రధాన సంఖ్యలను జాబితా చేసి, ఒక్కోదాన్ని ఒక్కసారి మాత్రమే తీసుకుని, వాటిని గుణించండి. ఫలితాన్ని N అనండి.

చాలా సందర్భాల్లో, N అనేది c కంటే చాలా పెద్దది. 2 + 3 = 5 తీసుకోండి: ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5, కాబట్టి N = 30, 5 కంటే చాలా ఎక్కువ. కానీ కొన్నిసార్లు ఈ సంఖ్యలు చాలా కొన్ని, చాలా చిన్న ప్రధాన సంఖ్యలతో నిర్మితమవుతాయి. 1 + 8 = 9లో, ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3 మాత్రమే, కాబట్టి N = 6 — c కంటే తక్కువ. 1 + 80 = 81లో, 80 = 2⁴ × 5, 81 = 3⁴ కావడంతో, N విలువ 30, కాగా c విలువ 81.

చిన్న ప్రధాన సంఖ్యలు, పెద్ద మొత్తాలు?

ఇది ఎంత దూరం వెళ్లగలదు? N చిన్నగానే ఉంటూ c అపారంగా పెద్దదిగా ఉండగలదా? మాసర్ (Masser), ఎస్టెర్లే (Oesterlé) ప్రతిపాదించిన abc ఊహ (abc conjecture) అది సాధ్యం కాదంటుంది: c ఎప్పుడూ N యొక్క ఒక ఘాతం కంటే దిగువనే ఉంటుంది. పూర్ణ సంఖ్యల గురించిన అనేక ఇతర ప్రవచనాలు దాని నుంచి వస్తాయని తెలుసు.

2026 నవంబర్ 3న పోస్ట్ చేసిన ఒక ప్రీప్రింట్‌లో, ఫ్రాన్స్‌లోని బ్యూర్-సుర్-ఇవెట్ (Bures-sur-Yvette)లో ఉన్న CNRSకు, ఇన్‌స్టిట్యూట్ దే ఓట్స్ ఎట్యూడ్స్ సియాంటిఫిక్‌కు (IHÉS) చెందిన క్రిస్టోఫ్ సూలే (Christophe Soulé), దాని ఒక బలహీన రూపానికి నిరూపణను ప్రకటించారు:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

ఇక్కడ ε అనేది ఏదైనా ధన సంఖ్య, మీకు కావలసినంత చిన్నది; A(ε) దానిపై మాత్రమే ఆధారపడే ఒక స్థిరాంకం. మాటల్లో చెప్పాలంటే: దాదాపు 24 ఘాతానికి పెంచిన N యొక్క ఒక స్థిరమైన గుణిజాన్ని c ఎప్పటికీ మించలేదు. N = 30కి, ఆ పైకప్పు ఒక స్థిరాంకానికి దాదాపు 3 × 10³⁵ రెట్లు — అపారమైనది, కానీ స్థిరమైనది.

ఇది ఊహ కాదని రచయిత స్పష్టంగా చెబుతున్నారు: పత్రం చెప్పినట్లు, abc నియమం ఇక్కడ “తప్పు ఘాతంతో అయినప్పటికీ” వస్తుంది.

వక్రాల గుండా ఒక చుట్టుదారి

నిరూపణ ఒక చుట్టుదారి తీసుకుంటుంది. దాని ప్రధాన ఫలితం జీనస్ 2 వక్రాలకు (genus) సంబంధించినది — ఒక నిర్దిష్ట సంక్లిష్టత గల, రెండు తెలియని రాశులున్న సమీకరణాలు. అలాంటి ఒక వక్రానికి, పత్రం దాని పరిష్కారాల “ఎత్తు”కు (height) — వాటి సంఖ్యలను రాయడానికి అవి ఎంత పెద్దవో తెలిపే ఒక కొలత — ఒక హద్దు విధిస్తుంది: పరిష్కారాలు నివసించే సంఖ్యా వ్యవస్థకు జోడించిన ఒక రాశికి 12 + ε రెట్లు. వోయ్‌తా (Vojta) ప్రతిపాదించిన మరింత ప్రతిష్ఠాత్మకమైన ఒక ఊహ, 12 + ε స్థానంలో 1 + εను ఉంచుతుంది.

అలాంటి హద్దు abc యొక్క ఒక రూపాన్ని సూచిస్తుందని, మోరె-బాయి (Moret-Bailly) చేసిన కృషి ద్వారా ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ వ్యూహాన్ని మొదట పార్షిన్ (Parshin), తర్వాత మోరె-బాయి ప్రతిపాదించారు. సూలే దాన్ని అమలు చేశారు:

1. కొడైరా (Kodaira) రూపొందించిన ఒక నిర్మాణం, జీనస్-2 వక్రానికి జీనస్ 6 వక్రాల ఒక మొత్తం కుటుంబాన్ని జోడిస్తుంది.
2. ఆ కుటుంబంలోని ప్రతి వక్రంపై కొలిచే ఒక రాశి, దాని అంకగణిత “స్వ-ఛేదనం” (self-intersection), ఒక ఎత్తు అని తేలుతుంది. ప్రధాన సిద్ధాంతం దానికి 36 + ε కారకంతో ఒక పైకప్పు విధిస్తుంది.
3. అక్కడికి చేరడానికి, పత్రం అంకగణిత ఉపరితలాల ఛేదన సిద్ధాంతాన్ని (intersection theory), వరుస కనిష్ఠాలపై (successive minima) మింకోవ్‌స్కీ (Minkowski) సిద్ధాంతాన్ని, వొయిజాన్ (Voisin) “సహాయంతో” జరిపిన జీనస్ 3, 6 వక్రాలపై లెక్కలను కలుపుతుంది.

ఆ తర్వాత ఘాతం 24, y² + y = x⁵ అనే ఒక నిర్దిష్ట వక్రం నుంచి వస్తుంది. రేఖపైకి దాని డిగ్రీ 5 గల ప్రతిచిత్రణ (map) ద్వారా, కారకం 12 అనేది 5/2 × 12 = 30 అవుతుంది; తర్వాత ఒక విచక్షణి (discriminant) అంచనా దాన్ని 4/5తో గుణించి, 24 ఇస్తుంది.

పర్యవసానాలు, బలహీనమైన స్థిరాంకాలతో

పత్రం ప్రకారం, abc యొక్క తెలిసిన పర్యవసానాలు దాని ఫలితాల నుంచి కూడా వస్తాయి, “బలహీనమైన స్థిరాంకాలతో”. అది రెండు ఉదాహరణలను నిరూపిస్తుంది:

• దీర్ఘవృత్తాకార వక్రాలపై స్పిరో ఊహ (Szpiro’s conjecture) యొక్క ఒక బలహీన రూపం, 144 (1 + log 24) + ε కారకంతో;
• సంఖ్యా సిద్ధాంతంలోని ఒక ఫంక్షన్ల కుటుంబానికి, ఋణ విచక్షణి గల ద్విఘాత లక్షణాల L-ఫంక్షన్లకు, సీగెల్ సున్నాలు (Siegel zeros) అని పిలిచేవి లేకపోవడం — గ్రాన్‌విల్ (Granville), స్టార్క్ (Stark) వాదన ద్వారా; పత్రం పేర్కొన్నట్లు, ఆ వాదన 1 + ε కాకుండా వేరే ఘాతంతో కూడా పనిచేస్తుంది. ఆ ప్రశ్నపై మరో రెండు ఇటీవలి ప్రీప్రింట్‌లను కూడా పత్రం ప్రస్తావిస్తుంది.

ఇంకా తనిఖీ కావలసి ఉంది

ఇది ఒకే రచయిత రాసిన 39 పేజీల నిరూపణ, అంకగణిత జ్యామితి యొక్క ఉన్నత స్థాయి భాషలో రాసినది, ఇంకా సహచర సమీక్ష (peer review) ద్వారా వెళ్లలేదు. తమకు సహాయం చేసినందుకు రచయిత 26 మంది సహోద్యోగులకు కృతజ్ఞతలు తెలిపారు, కానీ దాని అర్థం వారు దాన్ని తనిఖీ చేశారని కాదు. స్థిరాంకం A(ε)ను స్పష్టంగా లెక్కించవచ్చో లేదో పత్రం చెప్పదు.

వాదన నిలబడితే, a + b = c మొత్తాలకు ఒక స్థిరమైన ఘాతంతో ఒక పైకప్పు ఉంటుంది: ఊహ కోరే ఘాతం ఇంకా కాదు, కానీ 24.