a + b = c के लिए एक छत, घातांक 24 के साथ

तीन ऐसी पूर्ण संख्याओं से a + b = c लिखिए जिनमें कोई साझा गुणनखंड न हो। अब उन अभाज्य संख्याओं की सूची बनाइए जो a, b या c को विभाजित करती हैं, और उन्हें आपस में गुणा कीजिए, हर एक को केवल एक बार। परिणाम को N कहिए।

ज़्यादातर मामलों में, N, c से बहुत बड़ा होता है। 2 + 3 = 5 लीजिए: अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं, इसलिए N = 30, जो 5 से बहुत ऊपर है। लेकिन कभी-कभी ये संख्याएँ बहुत कम और बहुत छोटी अभाज्य संख्याओं से बनी होती हैं। 1 + 8 = 9 में, अभाज्य संख्याएँ केवल 2 और 3 हैं, इसलिए N = 6 — c से कम। 1 + 80 = 81 में, जहाँ 80 = 2⁴ × 5 और 81 = 3⁴, N है 30, जबकि c है 81।

छोटी अभाज्य संख्याएँ, बड़े योग?

यह कहाँ तक जा सकता है? क्या c विशाल हो सकता है जबकि N छोटा बना रहे? मासर (Masser) और ऑस्टरले (Oesterlé) का abc अनुमान (abc conjecture) कहता है कि ऐसा नहीं हो सकता: c, N की किसी घात से नीचे रहता है। यह ज्ञात है कि पूर्ण संख्याओं के बारे में कई अन्य कथन इससे निकलते हैं।

3 नवंबर 2026 को डाले गए एक प्रीप्रिंट में, फ़्रांस के ब्यूर-सुर-इवेत (Bures-sur-Yvette) स्थित CNRS और इंस्टीट्यूट दे ओत एत्यूद सियांतिफ़ीक (Institut des hautes études scientifiques, IHÉS) के क्रिस्टोफ़ सूले (Christophe Soulé) ने इसके एक कमज़ोर रूप (weak form) के प्रमाण की घोषणा की है:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

यहाँ ε कोई भी धनात्मक संख्या है, जितनी चाहें उतनी छोटी, और A(ε) एक स्थिरांक है जो केवल उसी पर निर्भर करता है। शब्दों में: c कभी भी N की लगभग 24वीं घात के किसी निश्चित गुणज से अधिक नहीं हो सकता। N = 30 के लिए, यह छत एक स्थिरांक गुणा लगभग 3 × 10³⁵ है — विशाल, लेकिन निश्चित।

लेखक ने स्पष्ट कहा है कि यह स्वयं अनुमान नहीं है: शोधपत्र के शब्दों में, abc नियम यहाँ “भले ही एक ग़लत घातांक के साथ” निकलता है।

वक्रों से होकर एक घुमावदार रास्ता

प्रमाण एक घुमावदार रास्ता लेता है। इसका मुख्य परिणाम जीनस 2 के वक्रों (curves of genus 2) से संबंधित है — दो अज्ञातों वाले, एक विशेष स्तर की जटिलता के समीकरण। ऐसे किसी वक्र के लिए, शोधपत्र उसके हलों की “ऊँचाई” (height) को — यह इस बात का माप है कि उनकी संख्याएँ लिखने में कितनी बड़ी हैं — उस संख्या-प्रणाली से जुड़ी एक राशि के 12 + ε गुने से सीमित करता है जिसमें ये हल स्थित होते हैं। वोय्टा (Vojta) का एक अधिक महत्वाकांक्षी अनुमान 12 + ε की जगह 1 + ε रखेगा।

मोरे-बाई (Moret-Bailly) के काम से यह पहले से ज्ञात था कि ऐसी सीमा से abc का एक रूप निकलता है। यह रणनीति स्वयं पार्शिन (Parshin) ने, और फिर मोरे-बाई ने प्रस्तावित की थी। सूले ने इसे पूरा करके दिखाया है:

1. कोडाइरा (Kodaira) की एक रचना जीनस-2 वक्र के साथ जीनस 6 के वक्रों का एक पूरा परिवार जोड़ देती है।
2. परिवार के हर वक्र पर मापी जाने वाली एक राशि, उसका अंकगणितीय “स्व-प्रतिच्छेदन” (self-intersection), एक ऊँचाई निकलती है। मुख्य प्रमेय उस पर 36 + ε के गुणक के साथ एक छत लगाता है।
3. वहाँ तक पहुँचने के लिए, शोधपत्र अंकगणितीय सतहों (arithmetic surfaces) के प्रतिच्छेदन सिद्धांत (intersection theory), क्रमिक न्यूनतमों (successive minima) पर मिंकोव्स्की (Minkowski) के प्रमेय, और जीनस 3 और 6 के वक्रों पर वुआज़ाँ (Voisin) “की सहायता से” की गई गणनाओं को मिलाता है।

फिर घातांक 24 एक विशेष वक्र, y² + y = x⁵, से निकल आता है। रेखा पर इसके डिग्री 5 के प्रतिचित्रण (map) के ज़रिए, गुणक 12 बन जाता है 5/2 × 12 = 30; फिर एक विविक्तकर (discriminant) का एक आकलन इसे 4/5 से गुणा करता है, जिससे 24 मिलता है।

परिणाम, कमज़ोर स्थिरांकों के साथ

शोधपत्र के अनुसार, abc के ज्ञात परिणाम इसके नतीजों से भी निकलते हैं, “कमज़ोर स्थिरांकों के साथ”। यह दो उदाहरण सिद्ध करता है:

• दीर्घवृत्तीय वक्रों (elliptic curves) पर श्पिरो के अनुमान (Szpiro’s conjecture) का एक कमज़ोर रूप, 144 (1 + log 24) + ε के गुणक के साथ;
• संख्या सिद्धांत के फलनों के एक परिवार — ऋणात्मक विविक्तकर वाले द्विघाती लक्षणों (quadratic characters) के L-फलनों — के लिए तथाकथित सीगल शून्यों (Siegel zeros) की अनुपस्थिति, ग्रानविल (Granville) और स्टार्क (Stark) के एक तर्क से, जो, जैसा शोधपत्र नोट करता है, 1 + ε के अलावा किसी और घातांक के साथ भी काम करता है। शोधपत्र उस प्रश्न पर दो अन्य हालिया प्रीप्रिंट का भी हवाला देता है।

अभी जाँच बाक़ी है

यह एक ही लेखक का 39 पृष्ठों का प्रमाण है, जो अंकगणितीय ज्यामिति (arithmetic geometry) की उन्नत भाषा में लिखा गया है, और अभी इसकी समकक्ष समीक्षा (peer review) नहीं हुई है। लेखक ने 26 सहकर्मियों को उनकी सहायता के लिए धन्यवाद दिया है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं कि उन्होंने इसकी जाँच की है। शोधपत्र यह नहीं बताता कि स्थिरांक A(ε) की स्पष्ट गणना की जा सकती है या नहीं।

अगर यह तर्क सही ठहरता है, तो योगों a + b = c के लिए एक निश्चित घातांक वाली छत होगी: अभी वह नहीं जिसकी माँग अनुमान करता है, बल्कि 24।