سقف للمعادلة a + b = c، بأسّ قدره 24

اكتب a + b = c بثلاثة أعداد صحيحة لا يجمعها أي عامل مشترك. والآن عدِّد الأعداد الأولية التي تقسم a أو b أو c، واضربها معًا، كلًّا منها مرة واحدة فقط. وسمِّ الناتج N.

في معظم الأحيان، يكون N أكبر بكثير من c. خذ 2 + 3 = 5: الأعداد الأولية هي 2 و3 و5، لذا N = 30، أي أعلى بكثير من 5. لكن الأعداد تُبنى أحيانًا من أعداد أولية قليلة جدًا وصغيرة جدًا. ففي 1 + 8 = 9، لا يوجد إلا العددان الأوليان 2 و3، لذا N = 6 — أي أقل من c. وفي 1 + 80 = 81، حيث 80 = 2⁴ × 5 و81 = 3⁴، يساوي N العدد 30، بينما يساوي c العدد 81.

أعداد أولية صغيرة، ومجاميع كبيرة؟

إلى أي حدّ يمكن أن يمضي هذا؟ هل يمكن أن يكون c هائلًا بينما يبقى N صغيرًا؟ تقول حدسية abc لماسر (Masser) وأوسترليه (Oesterlé) إن ذلك غير ممكن: فـc يبقى أدنى من قوةٍ ما لـN. ومن المعروف أن عدة عبارات أخرى عن الأعداد الصحيحة تترتب عليها.

وفي منشور أولي (preprint) صدر في 3 نوفمبر 2026، يُعلن كريستوف سوليه (Christophe Soulé)، من المركز الوطني للبحث العلمي (CNRS) ومعهد الدراسات العلمية العليا (IHÉS) في بور-سور-إيفيت بفرنسا، برهانًا على صيغة ضعيفة منها:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

هنا ε أي عدد موجب، صغير بقدر ما نشاء، وA(ε) ثابت لا يعتمد إلا عليه. وبالكلمات: لا يمكن لـc أبدًا أن يتجاوز مضاعفًا ثابتًا لـN مرفوعًا إلى القوة 24 تقريبًا. فمن أجل N = 30، يبلغ هذا السقف نحو 3 × 10³⁵ مضروبًا في ثابت — وهو رقم هائل، لكنه ثابت.

ويوضح البحث صراحةً أن هذه ليست الحدسية نفسها: فقاعدة abc تترتب هنا «وإن بأسّ خاطئ»، بحسب تعبير الورقة.

التفاف عبر المنحنيات

يسلك البرهان طريقًا ملتفًّا. فنتيجته الرئيسية تتعلق بـالمنحنيات من الجنس 2 — وهي معادلات في مجهولين ذات درجة معيّنة من التعقيد. فلمنحنى كهذا، تضع الورقة حدًّا لـ«ارتفاع» حلوله، وهو مقياس لمدى ضخامة أعدادها عند كتابتها، يساوي 12 + ε مضروبًا في كمية مرتبطة بالنظام العددي الذي تعيش فيه الحلول. وحدسية أكثر طموحًا لفويتا (Vojta) تضع 1 + ε مكان 12 + ε.

وكان معروفًا من قبل، بفضل أعمال موريه-بايي (Moret-Bailly)، أن حدًّا كهذا يستلزم صيغة من abc. أما الاستراتيجية نفسها فقد اقترحها بارشين (Parshin)، ثم موريه-بايي. وينفّذها سوليه في هذا العمل:

1. بناءٌ يعود إلى كودايرا (Kodaira) يُلحق بالمنحنى من الجنس 2 عائلة كاملة من المنحنيات من الجنس 6.
2. كمية تُقاس على كل منحنى من العائلة، هي «التقاطع الذاتي» الحسابي له، يتبيّن أنها ارتفاع. وتضع المبرهنة المركزية سقفًا لها، بمعامل 36 + ε.
3. وللوصول إلى ذلك، تجمع الورقة بين نظرية التقاطع للسطوح الحسابية، ومبرهنة مينكوفسكي في المتتاليات الدنيا (successive minima)، وحسابات على منحنيات من الجنس 3 و6 أُجريت «بمساعدة» فوازان (Voisin).

ثم يخرج الأسّ 24 من منحنى بعينه، هو y² + y = x⁵. فعبر تطبيقه من الدرجة 5 على المستقيم، يصبح المعامل 12 مساويًا 5/2 × 12 = 30؛ ثم يضربه تقدير لمميِّز (discriminant) في 4/5، فيعطي 24.

نتائج، بثوابت أضعف

بحسب الورقة، تترتب النتائج المعروفة لـabc على نتائجها هي أيضًا، «بثوابت أضعف». وتبرهن مثالين:

• صيغة ضعيفة من حدسية شبيرو (Szpiro) حول المنحنيات الإهليلجية، بمعامل 144 (1 + log 24) + ε؛
• غياب ما يُسمّى أصفار سيغل (Siegel zeros) لعائلة من دوالّ نظرية الأعداد، هي دوالّ L للمحارف التربيعية ذات المميِّز السالب — بحجة لغرانفيل (Granville) وستارك (Stark)، تعمل، كما تلاحظ الورقة، بأسّ غير 1 + ε. وتشير الورقة أيضًا إلى منشورين أوليين حديثين آخرين حول هذه المسألة.

ما زال ينتظر التحقق

هذا برهان من 39 صفحة، عمل فردي، مكتوب بلغة الهندسة الحسابية المتقدمة، ولم يخضع بعد لمراجعة الأقران. ويتضمن البحث شكرًا لـ26 زميلًا على مساعدتهم، لكن ذلك لا يعني أنهم تحققوا منه. ولا تذكر الورقة هل يمكن حساب الثابت A(ε) صراحةً.

وإن صمدت الحجة، فسيكون للمجاميع a + b = c سقف بأسّ ثابت: ليس بعدُ الأسّ الذي تطلبه الحدسية، لكنه 24.