a + b = c-এর জন্য একটি ছাদ, সূচক 24

তিনটি পূর্ণসংখ্যা দিয়ে লিখুন a + b = c, যাদের কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। এবার a, b বা c-কে ভাগ করে এমন মৌলিক সংখ্যাগুলোর তালিকা করুন, আর সেগুলোকে একসঙ্গে গুণ করুন, প্রতিটিকে কেবল একবার। ফলটির নাম দিন N।

বেশিরভাগ সময় N হয় c-এর চেয়ে অনেক বড়। ধরুন 2 + 3 = 5: মৌলিক সংখ্যাগুলো 2, 3 ও 5, তাই N = 30, যা 5-এর অনেক ওপরে। কিন্তু কখনো কখনো সংখ্যাগুলো গড়ে ওঠে খুব অল্প কয়েকটি, খুব ছোট মৌলিক সংখ্যা দিয়ে। 1 + 8 = 9-এ মৌলিক সংখ্যা কেবল 2 আর 3, তাই N = 6 — c-এর চেয়ে কম। 1 + 80 = 81-এ, যেখানে 80 = 2⁴ × 5 আর 81 = 3⁴, N হলো 30, অথচ c হলো 81।

ছোট মৌলিক সংখ্যা, বড় যোগফল?

এটা কতদূর যেতে পারে? N ছোট থাকলেও কি c বিশাল হতে পারে? মাসার (Masser) ও অস্টারলের (Oesterlé) abc অনুমান (abc conjecture) বলে, তা পারে না: c থাকে একটি ধ্রুবক গুণ N-এর একটি ঘাতের নিচে, আর সেই ঘাতকে 1-এর যত কাছে খুশি নেওয়া যায়। পূর্ণসংখ্যা নিয়ে আরও কয়েকটি বিবৃতি যে এর থেকে বেরিয়ে আসে, তা জানা আছে।

3 নভেম্বর 2026-এ প্রকাশিত একটি প্রিপ্রিন্টে ফ্রান্সের বুর-স্যুর-ইভেতের (Bures-sur-Yvette) CNRS ও অঁস্তিতু দেজ ওত এতুদ সিয়ঁতিফিকের (Institut des hautes études scientifiques, IHÉS) ক্রিস্তফ সুলে (Christophe Soulé) এর একটি দুর্বল রূপের প্রমাণ ঘোষণা করেছেন:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

এখানে ε যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা, যত খুশি ছোট, আর A(ε) একটি ধ্রুবক যা কেবল এর ওপর নির্ভর করে। কথায় বললে: c কখনোই N-এর মোটামুটি 24 ঘাতের একটি নির্দিষ্ট গুণিতককে ছাড়িয়ে যেতে পারে না। N = 30-এর জন্য সেই ছাদ প্রায় 3 × 10³⁵ গুণ একটি ধ্রুবক — বিশাল, কিন্তু নির্দিষ্ট।

লেখক স্পষ্ট করে বলেছেন যে এটি অনুমানটি নিজে নয়: পেপারের ভাষায়, abc নিয়মটি এখানে আসে “যদিও একটি ভুল সূচক নিয়ে”।

বক্ররেখার মধ্য দিয়ে একটি ঘুরপথ

প্রমাণটি একটি ঘুরপথ ধরে। এর মূল ফলটি জেনাস 2-এর বক্ররেখা (curves of genus 2) নিয়ে — দুই অজ্ঞাতের এমন সমীকরণ, যাদের জটিলতা একটি বিশেষ মাত্রার। এমন একটি বক্ররেখার জন্য পেপারটি এর সমাধানগুলোর “উচ্চতা” (height) — সেগুলোর সংখ্যা লিখতে কত বড় হয় তার একটি মাপ — সীমাবদ্ধ করে, সমাধানগুলো যে সংখ্যাব্যবস্থায় থাকে তার সঙ্গে যুক্ত একটি রাশির 12 + ε গুণ দিয়ে। ভোইতার (Vojta) একটি আরও উচ্চাভিলাষী অনুমান 12 + ε-এর জায়গায় বসাবে 1 + ε।

মোরে-বাইয়ির (Moret-Bailly) কাজ থেকে আগেই জানা ছিল যে এমন একটি সীমা থেকে abc-এর একটি রূপ পাওয়া যায়। কৌশলটি নিজেই প্রস্তাব করেছিলেন পারশিন (Parshin), তারপর মোরে-বাইয়ি। সুলে সেটি বাস্তবে করে দেখিয়েছেন:

1. কোদাইরার (Kodaira) একটি নির্মাণ জেনাস 2-এর বক্ররেখাটির সঙ্গে জুড়ে দেয় জেনাস 6-এর বক্ররেখার একটি পুরো পরিবার।
2. পরিবারের প্রতিটি বক্ররেখার ওপর মাপা একটি রাশি, তার পাটিগাণিতিক “স্ব-ছেদ” (self-intersection), দেখা যায় যে একটি উচ্চতা। মূল উপপাদ্যটি এর ওপর একটি ছাদ বসায়, 36 + ε গুণক দিয়ে।
3. সেখানে পৌঁছাতে পেপারটি মিলিয়েছে পাটিগাণিতিক তলের (arithmetic surfaces) ছেদ তত্ত্ব (intersection theory), ক্রমিক ন্যূনতম (successive minima) নিয়ে মিনকোভস্কির উপপাদ্য, এবং জেনাস 3 ও 6-এর বক্ররেখার ওপর ভোয়াজাঁর (Voisin) “সাহায্যে” করা হিসাব।

সূচক 24 এরপর বেরিয়ে আসে একটি নির্দিষ্ট বক্ররেখা থেকে, y² + y = x⁵। এই বক্ররেখার ওপর দুটি প্রযুক্তিগত ধাপ জেনাস 2-এর সীমার গুণক 12-কে সূচকে পরিণত করে: প্রথমটি, যা বক্ররেখা থেকে একটি রেখার ওপর মাত্রা 5-এর একটি চিত্রণ (map) ব্যবহার করে, একে 5/2 দিয়ে গুণ করে, দেয় 30; দ্বিতীয়টি, নিরূপক (discriminant) নামের একটি রাশির একটি আনুমানিক হিসাব, একে 4/5 দিয়ে গুণ করে, দেয় 24।

পরিণতি, দুর্বলতর ধ্রুবকসহ

পেপার অনুযায়ী, abc-এর জানা পরিণতিগুলোও এর ফলাফল থেকে বেরিয়ে আসে, “দুর্বলতর ধ্রুবকসহ”। এটি দুটি উদাহরণ প্রমাণ করে:

• উপবৃত্তীয় বক্ররেখা (elliptic curves) নিয়ে স্পিরোর অনুমানের (Szpiro’s conjecture) একটি দুর্বল রূপ, 144 (1 + log 24) + ε গুণকসহ;
• সংখ্যাতত্ত্বের একগুচ্ছ ফাংশনের জন্য তথাকথিত সিগেল শূন্যের (Siegel zeros) অনুপস্থিতি — ফাংশনগুলো হলো ঋণাত্মক নিরূপকযুক্ত দ্বিঘাত ক্যারেক্টারের (quadratic characters) L-ফাংশন — গ্র্যানভিল (Granville) ও স্টার্কের (Stark) একটি যুক্তির মাধ্যমে, যা, পেপারটির মন্তব্য অনুযায়ী, 1 + ε ছাড়া অন্য সূচক দিয়েও কাজ করে। পেপারটি ওই প্রশ্নে সাম্প্রতিক আরও দুটি প্রিপ্রিন্টের উল্লেখও করেছে।

এখনো যাচাই বাকি

এটি একজন মাত্র লেখকের 39 পৃষ্ঠার একটি প্রমাণ, পাটিগাণিতিক জ্যামিতির (arithmetic geometry) উন্নত ভাষায় লেখা, আর এটি এখনো সহকর্মী-পর্যালোচনার (peer review) মধ্য দিয়ে যায়নি। লেখক 26 জন সহকর্মীকে তাঁদের সাহায্যের জন্য ধন্যবাদ জানিয়েছেন, কিন্তু তার মানে এই নয় যে তাঁরা এটি যাচাই করেছেন। ধ্রুবক A(ε) স্পষ্টভাবে হিসাব করা যায় কি না, পেপারটি তা বলে না।

যুক্তিটি টিকে গেলে a + b = c যোগফলগুলোর একটি নির্দিষ্ট সূচকসহ ছাদ থাকবে: অনুমানটি যা চায়, 1-এর ঠিক ওপরের সেই সূচক এখনো নয়, বরং 24।