UN TECHO PARA A + B = C, CON EXPONENTE 24

Escribe a + b = c con tres números enteros que no compartan ningún factor común. Ahora enumera los números primos que dividen a a, b o c, y multiplícalos entre sí, cada uno una sola vez. Llama al resultado N.

La mayoría de las veces, N es mucho mayor que c. Toma 2 + 3 = 5: los primos son 2, 3 y 5, así que N = 30, muy por encima de 5. Pero a veces los números están construidos con muy pocos primos, y muy pequeños. En 1 + 8 = 9, los únicos primos son 2 y 3, así que N = 6, menos que c. En 1 + 80 = 81, con 80 = 2⁴ × 5 y 81 = 3⁴, N vale 30, mientras que c vale 81.

¿Primos pequeños, sumas grandes?

¿Hasta dónde puede llegar esto? ¿Puede c ser enorme mientras N sigue siendo pequeño? La conjetura abc de Masser y Oesterlé dice que no: c queda por debajo de una potencia de N. Se sabe que de ella se deducen varios otros enunciados sobre los números enteros.

En una prepublicación difundida el 3 de noviembre de 2026, Christophe Soulé, del CNRS y del Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) en Bures-sur-Yvette (Francia), anuncia una demostración de una forma débil de la conjetura:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

Aquí ε es cualquier número positivo, tan pequeño como se quiera, y A(ε) una constante que solo depende de él. Dicho con palabras: c nunca puede superar un múltiplo fijo de N elevado aproximadamente a 24. Para N = 30, ese techo ronda 3 × 10³⁵ por una constante: enorme, pero fijo.

Soulé deja claro que esto no es la conjetura en sí: la regla abc se deduce aquí «aunque con un exponente erróneo», en palabras del artículo.

Un rodeo por las curvas

La demostración da un rodeo. Su resultado principal se refiere a las curvas de género 2, ecuaciones con dos incógnitas de una complejidad determinada. Para una curva así, el artículo acota la «altura» de sus soluciones, una medida de lo grandes que son sus números al escribirlos, por 12 + ε veces una cantidad ligada al sistema numérico en el que viven las soluciones. Una conjetura más ambiciosa de Vojta pondría 1 + ε en lugar de 12 + ε.

Ya se sabía, por trabajos de Moret-Bailly, que una cota así implica una forma de abc. La estrategia en sí la propuso Parshin, y después Moret-Bailly. Soulé la lleva a cabo:

Una construcción debida a Kodaira asocia a la curva de género 2 toda una familia de curvas de género 6.
Una cantidad medida en cada curva de la familia, su «autointersección» aritmética, resulta ser una altura. El teorema central le pone un techo, con un factor 36 + ε.
Para llegar ahí, el artículo combina la teoría de la intersección para superficies aritméticas, el teorema de Minkowski sobre los mínimos sucesivos y cálculos sobre curvas de género 3 y 6 realizados «con la ayuda de» Voisin.

El exponente 24 sale entonces de una curva concreta, y² + y = x⁵. A través de su aplicación de grado 5 sobre la recta, el factor 12 se convierte en 5/2 × 12 = 30; una estimación de un discriminante lo multiplica después por 4/5, lo que da 24.

Consecuencias, con constantes más débiles

Según el artículo, las consecuencias conocidas de abc también se deducen de sus resultados, «con constantes más débiles». Demuestra dos ejemplos:

una forma débil de la conjetura de Szpiro sobre curvas elípticas, con un factor de 144 (1 + log 24) + ε;
la ausencia de los llamados ceros de Siegel para una familia de funciones de la teoría de números, las funciones L de caracteres cuadráticos con discriminante negativo, mediante un argumento de Granville y Stark que, según señala el artículo, funciona con un exponente distinto de 1 + ε. El artículo remite también a otras dos prepublicaciones recientes sobre esa cuestión.

Pendiente de verificación

Se trata de una demostración de 39 páginas firmada por una sola persona, escrita en el lenguaje avanzado de la geometría aritmética, que todavía no ha pasado por la revisión por pares. Soulé agradece su ayuda a 26 colegas, pero eso no significa que la hayan verificado. El artículo no dice si la constante A(ε) puede calcularse de forma explícita.

Si el argumento se sostiene, las sumas a + b = c tendrán un techo con un exponente fijo: todavía no el que pide la conjetura, sino 24.