a + b = c کے لیے ایک بالائی حد، قوت نما 24 کے ساتھ

a + b = c لکھیں، ایسے تین پورے اعداد کے ساتھ جن کا کوئی مشترک جزوِ ضربی (common factor) نہ ہو۔ اب ان مفرد اعداد کی فہرست بنائیں جو a، b یا c کو تقسیم کرتے ہیں، اور انہیں آپس میں ضرب دیں، ہر ایک کو صرف ایک بار۔ حاصل کو N کہیں۔

زیادہ تر صورتوں میں N، c سے کہیں بڑا ہوتا ہے۔ 2 + 3 = 5 لیں: مفرد اعداد 2، 3 اور 5 ہیں، اس لیے N = 30، جو 5 سے بہت اوپر ہے۔ لیکن کبھی کبھی یہ اعداد بہت کم اور بہت چھوٹے مفرد اعداد سے بنے ہوتے ہیں۔ 1 + 8 = 9 میں صرف مفرد اعداد 2 اور 3 ہیں، اس لیے N = 6 — یعنی c سے کم۔ 1 + 80 = 81 میں، جہاں 80 = 2⁴ × 5 اور 81 = 3⁴، N کی قدر 30 ہے، جبکہ c کی قدر 81 ہے۔

چھوٹے مفرد اعداد، بڑے حاصل جمع؟

یہ سلسلہ کہاں تک جا سکتا ہے؟ کیا c بہت بڑا ہو سکتا ہے جبکہ N چھوٹا رہے؟ Masser اور Oesterlé کا abc قیاس (abc conjecture) کہتا ہے کہ ایسا نہیں ہو سکتا: c ہمیشہ N کی کسی قوت سے نیچے رہتا ہے۔ پورے اعداد کے بارے میں کئی دوسرے بیانات کے متعلق معلوم ہے کہ وہ اسی سے اخذ ہوتے ہیں۔

3 نومبر 2026 کو جاری ہونے والے ایک پری پرنٹ میں، فرانس کے شہر Bures-sur-Yvette میں CNRS اور Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) سے وابستہ Christophe Soulé نے اس کی ایک کمزور صورت (weak form) کے ثبوت کا اعلان کیا ہے:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

یہاں ε کوئی بھی مثبت عدد ہے، جتنا چاہیں چھوٹا، اور A(ε) ایک مستقل ہے جو صرف اسی پر منحصر ہے۔ الفاظ میں: c کبھی بھی N کی تقریباً 24 ویں قوت کے کسی مقررہ گنا سے زیادہ نہیں ہو سکتا۔ N = 30 کے لیے یہ بالائی حد تقریباً 3 × 10³⁵ ضرب ایک مستقل ہے — بہت بڑی، مگر مقررہ۔

مصنف نے واضح کیا ہے کہ یہ بذاتِ خود قیاس نہیں: مقالے کے الفاظ میں، abc کا اصول یہاں “اگرچہ ایک غلط قوت نما کے ساتھ” (albeit with a wrong exponent) حاصل ہوتا ہے۔

منحنیوں کے راستے ایک چکر

ثبوت ایک بالواسطہ راستہ اختیار کرتا ہے۔ اس کا مرکزی نتیجہ جنس (genus) 2 کی منحنیوں سے متعلق ہے — دو نامعلوم متغیرات والی ایک خاص پیچیدگی کی مساواتیں۔ ایسی کسی منحنی کے لیے، مقالہ اس کے حلوں کی “بلندی” (height) — یعنی اس بات کا پیمانہ کہ ان کے اعداد لکھنے میں کتنے بڑے ہیں — کو اس عددی نظام سے منسلک ایک مقدار کے 12 + ε گنا تک محدود کرتا ہے جس میں یہ حل پائے جاتے ہیں۔ Vojta کا ایک زیادہ پُرعزم قیاس 12 + ε کی جگہ 1 + ε رکھے گا۔

Moret-Bailly کے کام سے یہ پہلے ہی معلوم تھا کہ ایسی حد abc کی ایک صورت کو مستلزم ہے۔ یہ حکمتِ عملی خود پہلے Parshin نے، پھر Moret-Bailly نے تجویز کی تھی۔ Soulé نے اسے عملی جامہ پہنایا ہے:

1. Kodaira سے منسوب ایک تعمیر جنس 2 کی منحنی کے ساتھ جنس 6 کی منحنیوں کا ایک پورا خاندان منسلک کرتی ہے۔
2. اس خاندان کی ہر منحنی پر ناپی جانے والی ایک مقدار، اس کا حسابی “خود-تقاطع” (arithmetic self-intersection)، ایک بلندی ثابت ہوتی ہے۔ مرکزی مسئلہ (core theorem) اس پر ایک بالائی حد لگاتا ہے، 36 + ε کے جزو کے ساتھ۔
3. وہاں تک پہنچنے کے لیے، مقالہ حسابی سطحوں (arithmetic surfaces) کے نظریۂ تقاطع (intersection theory)، متواتر کم ترین قدروں (successive minima) پر Minkowski کے مسئلے، اور جنس 3 اور 6 کی منحنیوں پر ان حسابات کو یکجا کرتا ہے جو Voisin کی “مدد سے” (with the help of) کیے گئے۔

قوت نما 24 پھر ایک مخصوص منحنی، y² + y = x⁵، سے نکل آتا ہے۔ خط (line) پر اس کے درجہ 5 کے نقشے کے ذریعے جزو 12 بدل کر 5/2 × 12 = 30 بن جاتا ہے؛ پھر ایک ممیز (discriminant) کا تخمینہ اسے 4/5 سے ضرب دیتا ہے، جس سے 24 حاصل ہوتا ہے۔

نتائج، کمزور تر مستقلات کے ساتھ

مقالے کے مطابق، abc کے معلوم نتائج اس کے نتائج سے بھی، “کمزور تر مستقلات کے ساتھ” (with weaker constants)، اخذ ہوتے ہیں۔ یہ دو مثالیں ثابت کرتا ہے:

• بیضوی منحنیوں (elliptic curves) پر Szpiro کے قیاس (Szpiro’s conjecture) کی ایک کمزور صورت، 144 (1 + log 24) + ε کے جزو کے ساتھ؛
• نظریۂ اعداد کے فنکشنز کے ایک خاندان، یعنی منفی ممیز والے دو درجی کرداروں (quadratic characters) کے L-فنکشنز، کے لیے نام نہاد Siegel صفروں (Siegel zeros) کی عدم موجودگی — Granville اور Stark کی ایک دلیل کے ذریعے، جو، جیسا کہ مقالہ نوٹ کرتا ہے، 1 + ε کے علاوہ کسی اور قوت نما کے ساتھ بھی کام کرتی ہے۔ مقالہ اس سوال پر دو دیگر حالیہ پری پرنٹس کا حوالہ بھی دیتا ہے۔

ابھی جانچ باقی ہے

یہ ایک واحد مصنف کا 39 صفحات پر مشتمل ثبوت ہے، جو حسابی جیومیٹری (arithmetic geometry) کی اعلیٰ زبان میں لکھا گیا ہے، اور ابھی تک ہم مرتبہ جائزے (peer review) سے نہیں گزرا۔ مقالے میں 26 ساتھیوں کا ان کی مدد پر شکریہ ادا کیا گیا ہے، لیکن اس کا مطلب یہ نہیں کہ انہوں نے اس کی جانچ کی ہے۔ مقالہ یہ نہیں بتاتا کہ آیا مستقل A(ε) کا صریح (explicit) حساب لگایا جا سکتا ہے۔

اگر دلیل درست ثابت ہوئی تو حاصل جمع a + b = c کی ایک مقررہ قوت نما والی بالائی حد ہو گی: ابھی وہ نہیں جو قیاس مانگتا ہے، بلکہ 24۔