UM TETO PARA A + B = C, COM EXPOENTE 24

Escreva a + b = c com três números inteiros que não têm nenhum fator comum. Agora liste os números primos que dividem a, b ou c e multiplique-os entre si, cada um uma única vez. Chame o resultado de N.

Na maioria das vezes, N é muito maior que c. Tome 2 + 3 = 5: os primos são 2, 3 e 5, então N = 30, bem acima de 5. Mas às vezes os números são construídos com pouquíssimos primos, e muito pequenos. Em 1 + 8 = 9, os únicos primos são 2 e 3, então N = 6 — menos que c. Em 1 + 80 = 81, com 80 = 2⁴ × 5 e 81 = 3⁴, N vale 30, enquanto c vale 81.

Primos pequenos, somas grandes?

Até onde isso pode ir? Pode c ser enorme enquanto N continua pequeno? A conjectura abc de Masser e Oesterlé diz que não: c fica abaixo de uma potência de N. Sabe-se que várias outras afirmações sobre números inteiros decorrem dela.

Num preprint publicado em 3 de novembro de 2026, Christophe Soulé, do CNRS e do Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), em Bures-sur-Yvette, na França, anuncia uma prova de uma forma fraca dela:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

Aqui ε é qualquer número positivo, tão pequeno quanto se queira, e A(ε) é uma constante que depende só dele. Em palavras: c nunca pode passar de um múltiplo fixo de N elevado a aproximadamente 24. Para N = 30, esse teto fica em torno de 3 × 10³⁵ vezes uma constante — enorme, mas fixo.

Soulé deixa claro que isso não é a própria conjectura: a regra abc decorre aqui “ainda que com um expoente errado”, como diz o artigo.

Um desvio pelas curvas

A prova faz um desvio. Seu resultado principal diz respeito a curvas de gênero 2 — equações em duas incógnitas de uma complexidade particular. Para uma curva assim, o artigo limita a “altura” de suas soluções, uma medida do tamanho dos números necessários para escrevê-las, por 12 + ε vezes uma quantidade associada ao sistema de números em que as soluções vivem. Uma conjectura mais ambiciosa, de Vojta, poria 1 + ε no lugar de 12 + ε.

Já se sabia, por trabalhos de Moret-Bailly, que um limite desse tipo implica uma forma da abc. A estratégia em si foi proposta por Parshin, e depois por Moret-Bailly. Soulé a leva a cabo:

1. Uma construção devida a Kodaira associa à curva de gênero 2 uma família inteira de curvas de gênero 6.
2. Uma quantidade medida em cada curva da família, sua “autointerseção” aritmética, revela-se uma altura. O teorema central impõe um teto a ela, com um fator 36 + ε.
3. Para chegar lá, o artigo combina a teoria da interseção para superfícies aritméticas, o teorema de Minkowski sobre os mínimos sucessivos e cálculos em curvas de gênero 3 e 6 feitos “com a ajuda de” Voisin.

O expoente 24 sai então de uma curva específica, y² + y = x⁵. Por meio de sua aplicação de grau 5 sobre a reta, o fator 12 vira 5/2 × 12 = 30; uma estimativa de um discriminante o multiplica então por 4/5, dando 24.

Consequências, com constantes mais fracas

Segundo o artigo, as consequências conhecidas da abc também decorrem de seus resultados, “com constantes mais fracas”. Ele prova dois exemplos:

• uma forma fraca da conjectura de Szpiro sobre curvas elípticas, com um fator de 144 (1 + log 24) + ε;
• a ausência dos chamados zeros de Siegel para uma família de funções da teoria dos números, as funções L de caracteres quadráticos com discriminante negativo — por um argumento de Granville e Stark que, observa o artigo, funciona com um expoente diferente de 1 + ε. O artigo também cita dois outros preprints recentes sobre essa questão.

Ainda por verificar

Trata-se de uma prova de 39 páginas, assinada por uma única pessoa, escrita na linguagem avançada da geometria aritmética, e que ainda não passou por revisão por pares. Soulé agradece a 26 colegas pela ajuda, mas isso não significa que eles a tenham verificado. O artigo não diz se a constante A(ε) pode ser calculada explicitamente.

Se o argumento se sustentar, as somas a + b = c terão um teto com expoente fixo: ainda não o que a conjectura pede, mas 24.