MỘT MỨC TRẦN CHO A + B = C, VỚI SỐ MŨ 24

Hãy viết ra a + b = c với ba số nguyên không có ước chung nào. Giờ hãy liệt kê các số nguyên tố chia hết a, b hoặc c, rồi nhân chúng lại với nhau, mỗi số chỉ một lần. Gọi kết quả là N.

Phần lớn thời gian, N lớn hơn c rất nhiều. Lấy 2 + 3 = 5: các số nguyên tố là 2, 3 và 5, nên N = 30, vượt xa 5. Nhưng đôi khi các số được tạo nên từ rất ít số nguyên tố, và toàn là số rất nhỏ. Trong 1 + 8 = 9, các số nguyên tố duy nhất là 2 và 3, nên N = 6 — nhỏ hơn c. Trong 1 + 80 = 81, với 80 = 2⁴ × 5 và 81 = 3⁴, N bằng 30, trong khi c bằng 81.

Số nguyên tố nhỏ, tổng lớn?

Điều này có thể đi xa đến đâu? Liệu c có thể khổng lồ trong khi N vẫn nhỏ? Giả thuyết abc của Masser và Oesterlé nói là không thể: c luôn nhỏ hơn một lũy thừa của N. Nhiều mệnh đề khác về số nguyên đã được biết là suy ra từ nó.

Trong một bản tiền ấn phẩm đăng ngày 3 tháng 11 năm 2026, Christophe Soulé, thuộc CNRS và Viện Nghiên cứu Khoa học Cao cấp (Institut des hautes études scientifiques, IHÉS) ở Bures-sur-Yvette, Pháp, công bố một chứng minh cho một dạng yếu của nó:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

Ở đây ε là một số dương bất kỳ, nhỏ bao nhiêu tùy ý, và A(ε) là một hằng số chỉ phụ thuộc vào nó. Nói bằng lời: c không bao giờ vượt quá một bội số cố định của N lũy thừa xấp xỉ 24. Với N = 30, mức trần đó vào khoảng 3 × 10³⁵ nhân với một hằng số — khổng lồ, nhưng cố định.

Tác giả nói rõ rằng đây không phải là chính giả thuyết: quy tắc abc suy ra ở đây “dù với một số mũ sai”, như bài báo viết.

Một đường vòng qua các đường cong

Chứng minh đi theo một đường vòng. Kết quả chính của nó liên quan đến các đường cong giống 2 (curves of genus 2) — những phương trình hai ẩn có một độ phức tạp nhất định. Với một đường cong như vậy, bài báo chặn “độ cao” (height) của các nghiệm của nó, một thước đo cho biết các số của chúng lớn đến đâu khi viết ra, bởi 12 + ε nhân với một đại lượng gắn với hệ thống số mà các nghiệm đó thuộc về. Một giả thuyết tham vọng hơn của Vojta sẽ đặt 1 + ε vào chỗ của 12 + ε.

Từ công trình của Moret-Bailly, người ta đã biết rằng một chặn như vậy kéo theo một dạng của abc. Bản thân chiến lược này do Parshin, rồi Moret-Bailly đề xuất. Soulé thực hiện nó:

Một cách dựng của Kodaira gắn với đường cong giống 2 cả một họ đường cong giống 6.
Một đại lượng đo trên mỗi đường cong của họ này, “tự giao” (self-intersection) số học của nó, hóa ra là một độ cao. Định lý cốt lõi đặt một mức trần cho nó, với hệ số 36 + ε.
Để đến được đó, bài báo kết hợp lý thuyết giao cho các mặt số học, định lý của Minkowski về các cực tiểu liên tiếp, và các tính toán trên những đường cong giống 3 và 6 được thực hiện “với sự giúp đỡ của” Voisin.

Số mũ 24 sau đó rơi ra từ một đường cong cụ thể, y² + y = x⁵. Qua ánh xạ bậc 5 của nó lên đường thẳng, hệ số 12 trở thành 5/2 × 12 = 30; một ước lượng cho một biệt thức sau đó nhân nó với 4/5, cho ra 24.

Các hệ quả, với hằng số yếu hơn

Theo bài báo, các hệ quả đã biết của abc cũng suy ra từ các kết quả của nó, “với các hằng số yếu hơn”. Bài báo chứng minh hai ví dụ:

một dạng yếu của giả thuyết Szpiro về đường cong elliptic, với hệ số 144 (1 + log 24) + ε;
sự vắng mặt của cái gọi là không điểm Siegel (Siegel zeros) đối với một họ hàm của lý thuyết số, các hàm L của đặc trưng bậc hai có biệt thức âm — bằng một lập luận của Granville và Stark, mà, như bài báo lưu ý, vẫn đúng với một số mũ khác 1 + ε. Bài báo cũng nhắc tới hai bản tiền ấn phẩm gần đây khác về câu hỏi đó.

Vẫn còn phải kiểm tra

Đây là một chứng minh dài 39 trang của một tác giả duy nhất, viết bằng ngôn ngữ cao cấp của hình học số học, và chưa qua bình duyệt. Tác giả cảm ơn 26 đồng nghiệp đã giúp đỡ, nhưng điều đó không có nghĩa là họ đã kiểm tra nó. Bài báo không nói liệu hằng số A(ε) có thể tính được một cách tường minh hay không.

Nếu lập luận đứng vững, các tổng a + b = c sẽ có một mức trần với số mũ cố định: chưa phải số mũ mà giả thuyết đòi hỏi, mà là 24.