A + B = C لئی اک چھت، قوت نما 24 نال
a + b = c لکھو، تِن پوریاں گنتیاں نال جیہناں دا کوئی سانجھا ضربیہ نہیں۔ ہُن اوہ مفرد عدد (prime numbers) لکھو جو a، b جاں c نوں ونڈدے نیں، تے اوہناں نوں آپس وچ ضرب دیو، ہر اک نوں صرف اک واری۔ نتیجے نوں N آکھو۔
بہتی واری، N، c نالوں کتے وڈا ہوندا اے۔ 2 + 3 = 5 لوو: مفرد عدد 2، 3 تے 5 نیں، ایس لئی N = 30، جو 5 توں کتے اُتے اے۔ پر کدی کدی گنتیاں بہت تھوڑے، بہت نِکے مفرد عدداں توں بنیاں ہوندیاں نیں۔ 1 + 8 = 9 وچ، صرف مفرد عدد 2 تے 3 نیں، ایس لئی N = 6 — c توں گھٹ۔ 1 + 80 = 81 وچ، جتھے 80 = 2⁴ × 5 تے 81 = 3⁴، N 30 اے، جدکہ c 81 اے۔
نِکے مفرد عدد، وڈے جوڑ؟
ایہہ کِتھے تیکر جا سکدا اے؟ کیہ c بہت ای وڈا ہو سکدا اے جدکہ N نِکا رہوے؟ میسر تے اوسترلے دا abc قیاس (abc conjecture) آکھدا اے کہ نہیں ہو سکدا: c، N دی کسے طاقت توں تھلے رہندا اے۔ ایہہ پتہ اے کہ پوریاں گنتیاں بارے کئی ہور بیان ایہدے توں نکلدے نیں۔
3 نومبر 2026 نوں جاری کیتے گئے اک پری پرنٹ وچ، فرانس دے شہر بیور-سور-ایویت (Bures-sur-Yvette) وچ CNRS تے انستیتو دے اوت ایتود سیانتیفیک (Institut des hautes études scientifiques, IHÉS) دے کرسٹوف سولے ولوں ایہدی اک کمزور شکل (weak form) دے ثبوت دا اعلان کیتا گیا اے:
c ≤ A(ε) · N^(24+ε)
ایتھے ε کوئی وی مثبت عدد اے، جِنا مرضی نِکا، تے A(ε) اک مستقل اے جو صرف ایہدے اُتے منحصر اے۔ لفظاں وچ: c کدی وی N دی لگ بھگ 24 والی طاقت دے کسے پکے گُنا (fixed multiple) توں ودھ نہیں ہو سکدا۔ N = 30 لئی، ایہہ چھت لگ بھگ 3 × 10³⁵ ضرب اک مستقل اے — بہت ای وڈی، پر پکی۔
لکھاری ولوں صاف دسیا گیا اے کہ ایہہ آپ قیاس نہیں: ایتھے abc دا اصول، پیپر دے لفظاں وچ، «بھاویں اک غلط قوت نما نال» نکلدا اے۔
وکراں راہیں اک چکر
ثبوت اک چکر کٹ کے اپڑدا اے۔ ایہدا مُکھ نتیجہ جینس (genus) 2 دے وکراں بارے اے — دو انجانیاں (unknowns) والیاں، اک خاص پیچیدگی دیاں مساواتاں۔ اجیہے وکر لئی، پیپر اوہدے حلاں دی «اُچائی» (height) — ایس گل دا ناپ کہ اوہناں دیاں گنتیاں لکھن وچ کِنیاں وڈیاں نیں — نوں اوس عددی نظام (number system)، جیہدے وچ حل رہندے نیں، نال جڑی اک مقدار دے 12 + ε گُنا تیکر محدود کردا اے۔ وویتا (Vojta) دا اک ہور اُچی اُڈاری والا قیاس 12 + ε دی تھاں 1 + ε رکھے گا۔
موریت-بائی (Moret-Bailly) دے کم توں پہلاں ای پتہ سی کہ اجیہی حد توں abc دی اک شکل نکلدی اے۔ ایہہ حکمت عملی آپ پارشن (Parshin) نے، تے فیر موریت-بائی نے، تجویز کیتی سی۔ سولے نے ایہنوں عملی جامہ پوایا اے:
- کودائرا (Kodaira) دی اک بناوٹ جینس 2 والے وکر نال جینس 6 دے وکراں دا اک پورا خاندان (family) جوڑ دیندی اے۔
- خاندان دے ہر وکر اُتے ناپی گئی اک مقدار، اوہدا حسابی (arithmetic) «خود-تقاطع» (self-intersection)، اک اُچائی ای نکلدی اے۔ مُکھ تھیورم ایہدے اُتے اک چھت لاؤندا اے، 36 + ε دے ضربیے نال۔
- اوتھے اپڑن لئی، پیپر حسابی سطحاں (arithmetic surfaces) لئی تقاطع تھیوری (intersection theory)، لگاتار کم توں کم قدراں (successive minima) بارے منکووسکی (Minkowski) دا تھیورم، تے جینس 3 تے 6 دے وکراں اُتے اوہ حساب جوڑدا اے جو واسان (Voisin) دی «مدد نال» کیتے گئے۔
فیر قوت نما 24 اک خاص وکر، y² + y = x⁵، توں نکلدا اے۔ لکیر اُتے ایہدے درجہ 5 والے نقشے راہیں، ضربیہ 12 بن جاندا اے 5/2 × 12 = 30؛ فیر اک ممیز (discriminant) دا اندازہ ایہنوں 4/5 نال ضرب دیندا اے، تے 24 ملدا اے۔
نتیجے، کمزور مستقلاں نال
پیپر مطابق، abc دے جانے پچھانے نتیجے وی ایہدے نتیجیاں توں نکلدے نیں، «کمزور مستقلاں نال»۔ ایہہ دو مثالاں ثابت کردا اے:
- بیضوی وکراں (elliptic curves) بارے شپیرو دے قیاس (Szpiro’s conjecture) دی اک کمزور شکل، 144 (1 + log 24) + ε دے ضربیے نال؛
- نمبر تھیوری دے فنکشناں دے اک خاندان، یعنی منفی ممیز والے دو درجی کرداراں (quadratic characters) دے L-فنکشناں، لئی اکھوتے سیگل صفراں (Siegel zeros) دی غیر موجودگی — گرانویل (Granville) تے سٹارک (Stark) دی اک دلیل راہیں، جو، پیپر دسدا اے، 1 + ε توں وکھرے قوت نما نال وی کم کردی اے۔ پیپر اوس سوال بارے دو ہور حالیہ پری پرنٹاں دا حوالہ وی دیندا اے۔
اجے جانچ باقی اے
ایہہ اک کلے لکھاری دا 39 صفحیاں دا ثبوت اے، حسابی جیومیٹری (arithmetic geometry) دی اوکھی بولی وچ لکھیا ہویا، تے اجے ہم مرتبہ جائزے (peer review) وچوں نہیں لنگھیا۔ پیپر وچ لکھاری ولوں 26 ساتھیاں دا اوہناں دی مدد لئی شکریہ ادا کیتا گیا اے، پر ایہدا مطلب ایہہ نہیں کہ اوہناں نے ایہدی جانچ کیتی اے۔ پیپر ایہہ نہیں دسدا کہ کیہ مستقل A(ε) دا واضح (explicit) حساب لایا جا سکدا اے۔
جے دلیل ٹھیک نکلی، تے a + b = c والے جوڑاں دی اک پکے قوت نما والی چھت ہووے گی: اجے اوہ نہیں جو قیاس منگدا اے، پر 24۔