EL DÉCIMO PROBLEMA DE HILBERT EN FRACCIONES: BASTAN 86 INCÓGNITAS

El décimo problema de Hilbert, planteado en 1900, pide un algoritmo que tome cualquier ecuación polinómica con coeficientes enteros, P(x₁, …, xₙ) = 0, y decida si tiene solución en números enteros. En 1970, Matiyasévich, a partir del trabajo de Davis, Putnam y Robinson de 1961, demostró que ese algoritmo no existe. El problema es indecidible.

Los matemáticos empezaron entonces a contar. ¿Cuántas incógnitas necesita una ecuación para que la cuestión se vuelva indecidible? Zhi-Wei Sun, de la Universidad de Nankín, había demostrado que bastan 11 para los números enteros, y hace poco redujo la cifra a 10.

La misma pregunta, para fracciones

Planteemos la pregunta para los números racionales, es decir, las fracciones. La vía clásica pasaría por los enteros: si se pudieran distinguir los enteros entre los racionales mediante una ecuación polinómica, el teorema de Matiyasévich se trasladaría. El artículo enumera los hitos. Robinson dio en 1949 una definición lógica de los enteros dentro de los racionales, que Poonen simplificó en 2009. Koenigsmann demostró en 2016 que los no enteros pueden describirse con una ecuación así, y trabajos posteriores redujeron el número de incógnitas necesarias para ello a 10 (Daans, 2024) y luego a 7 (Sun).

Después, dice el artículo, «muy recientemente, OpenAI publicó una prepublicación» que demuestra que el décimo problema de Hilbert sobre los racionales es indecidible. Esa prepublicación, fechada el 6 de octubre de 2026 y disponible en un repositorio de GitHub de OpenAI, se apoya en lo que Sun llama una «estimación de altura de cinco contactos» (five-contact height estimate) y en una construcción que excluye los «polos impares». El artículo de Sun no describe cómo se produjo.

Teorema 1.1

La aportación de Sun es un número. Teorema 1.1: HTP₈₆(ℚ) es indecidible. Dicho con palabras: no existe ningún algoritmo que decida, para todo polinomio f(x₁, …, x₈₆) con coeficientes enteros, si f = 0 tiene solución en fracciones.

La demostración introduce su propio resultado de 10 incógnitas para los enteros en la maquinaria de la prepublicación de OpenAI. Diez puntos de una curva elíptica fija —aquí y² = x³ − d₀²x sobre los números de la forma a + b√2, con d₀ = 75 − 53√2— codifican diez números enteros. Unos primos especiales, detectados por la estimación de altura, permiten a la ecuación comprobar si el polinomio de entrada se anula en esos diez números. Una lista finita de «guardas» descarta las soluciones falsas que quedan. Ejecutado en paralelo con una simple búsqueda de soluciones enteras, esto convierte cualquier oráculo para las fracciones en un procedimiento de decisión para los enteros, que no puede existir.

Ahorrar incógnitas

La mayor parte de las 42 páginas se dedica a economizar. Sun enumera cinco estrategias. Un cambio de coordenadas lleva los cinco «contactos» de la estimación de altura a puntos finitos. Una única variable de «pendiente» sirve a la vez para veintiuna comprobaciones. Un solo grupo compartido de once puntos de la curva sustituye a muchos grupos separados, lo que exige construir familias enteras de primos que encajen entre sí, usando, entre otros resultados, un teorema chino del resto generalizado y resultados de Tao y Ziegler sobre patrones polinómicos en los primos. Las comprobaciones se reorganizan para que 33 condiciones sustituyan a 42. Y al final, cada elección algebraica sobrante y cada condición de «esto no debe ser cero» se pliegan en una última variable.

El recuento, tal como aparece en el artículo:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

es decir, dos coordenadas para cada uno de los 21 puntos de la curva, una pendiente compartida, dos incógnitas auxiliares para cada una de las 21 comprobaciones y una última variable que absorbe el resto.

No es la última palabra

Sun deja claro que 86 es «una cota superior proporcionada por esta construcción», no la afirmación de que con menos incógnitas fallaría. En los enteros, la cifra pasó de 11 a 10; en las fracciones, la carrera acaba de empezar.

El resultado se apoya además en trabajos recientes que, según las referencias, no han pasado por revisión por pares: la prepublicación de OpenAI de principios de octubre y el propio artículo de Sun sobre las 10 incógnitas, publicado en arXiv este año. El artículo de Sun también es una prepublicación. Sus 42 páginas de teoría de números —cribas, patrones de primos y curvas elípticas— serán ahora revisadas por otros matemáticos.