مسألة هيلبرت العاشرة على الكسور: 86 مجهولًا تكفي

تطلب مسألة هيلبرت العاشرة، التي طُرحت عام 1900، خوارزميةً تأخذ أي معادلة كثيرة حدود بمعاملات صحيحة، P(x₁, …, xₙ) = 0، وتقرر ما إذا كان لها حل في الأعداد الصحيحة. وفي عام 1970، أثبت ماتياسيفيتش (Matiyasevich)، بناءً على عمل ديفيس (Davis) وبوتنام (Putnam) وروبنسون (Robinson) عام 1961، أنه لا توجد خوارزمية كهذه. فالمسألة غير قابلة للحسم (undecidable).

ثم بدأ الرياضيون يَعُدّون. كم مجهولًا تحتاج المعادلة حتى تصبح المسألة غير قابلة للحسم؟ كان جي-وي سون (Zhi-Wei Sun)، من جامعة نانجينغ، قد أثبت أن 11 تكفي في الأعداد الصحيحة، ثم خفّض العدد مؤخرًا إلى 10.

السؤال نفسه، للكسور

اطرح السؤال الآن على الأعداد النسبية — أي الكسور. الطريق التقليدي يمر عبر الأعداد الصحيحة: فلو أمكن تمييز الأعداد الصحيحة من بين الأعداد النسبية بمعادلة كثيرة حدود، لانتقلت مبرهنة ماتياسيفيتش إليها. وتسرد الورقة المحطات البارزة. قدّمت روبنسون عام 1949 تعريفًا منطقيًا للأعداد الصحيحة داخل الأعداد النسبية، بسّطه بونن (Poonen) عام 2009. وبيّن كونيغسمان (Koenigsmann) عام 2016 أن الأعداد غير الصحيحة يمكن وصفها بمعادلة من هذا النوع، وخفّضت أعمال لاحقة عدد المجاهيل اللازمة لذلك إلى 10 (دانس/Daans، 2024)، ثم إلى 7 (سون).

ثم تقول الورقة: «في الآونة الأخيرة جدًا، أصدرت OpenAI نسخة أولية» تثبت أن مسألة هيلبرت العاشرة على الأعداد النسبية غير قابلة للحسم. هذه النسخة الأولية، المؤرخة في 6 أكتوبر 2026 والمتاحة في مستودع GitHub تابع لـOpenAI، ترتكز على ما يسمّيه سون «تقدير الارتفاع ذي التماسات الخمسة» (five-contact height estimate) وعلى بنية تستبعد «الأقطاب الفردية» (odd poles). ولا تصف ورقة سون كيف أُنتجت.

المبرهنة 1.1

إسهام سون عدد. المبرهنة 1.1: HTP₈₆(ℚ) غير قابلة للحسم. وبالكلمات: لا توجد خوارزمية تقرر، لكل كثيرة حدود f(x₁, …, x₈₆) بمعاملات صحيحة، ما إذا كان للمعادلة f = 0 حل في الكسور.

يُدخل البرهان نتيجته الخاصة ذات المجاهيل العشرة في الأعداد الصحيحة إلى آلية النسخة الأولية لـOpenAI. فعشر نقاط على منحنى إهليلجي ثابت — هنا y² = x³ − d₀²x على الأعداد من الشكل a + b√2، حيث d₀ = 75 − 53√2 — ترمّز عشرة أعداد صحيحة. وتتيح أعداد أولية خاصة، يكشفها تقدير الارتفاع، للمعادلة أن تتحقق مما إذا كانت كثيرة الحدود المُدخلة تنعدم عند تلك الأعداد العشرة. وتستبعد قائمة منتهية من «الحُرّاس» الحلولَ الزائفة المتبقية. وعند تشغيل ذلك جنبًا إلى جنب مع بحث بسيط عن حلول صحيحة، يتحول أي عرّاف (oracle) للكسور إلى إجراء حسم للأعداد الصحيحة — وهو إجراء لا يمكن أن يوجد.

الاقتصاد في المجاهيل

يُخصَّص معظم الصفحات الاثنتين والأربعين للاقتصاد. ويسرد سون خمس استراتيجيات. فتغيير في الإحداثيات ينقل «التماسات» الخمسة لتقدير الارتفاع إلى نقاط منتهية. ومتغير «ميل» واحد يخدم إحدى وعشرين عملية تحقق دفعة واحدة. ومجموعة واحدة مشتركة من إحدى عشرة نقطة على المنحنى تحل محل مجموعات منفصلة كثيرة — وهو ما يتطلب بناء عائلات كاملة من الأعداد الأولية تتلاءم معًا، باستخدام صيغة معمّمة من مبرهنة الباقي الصينية، ونتائج تاو (Tao) وزيغلر (Ziegler) حول الأنماط كثيرة الحدود في الأعداد الأولية، وغير ذلك. ويُعاد تنظيم عمليات التحقق بحيث تحل 33 شرطًا محل 42. وفي النهاية، يُطوى كل خيار جبري متبقٍّ وكل شرط من نوع «يجب ألا يكون هذا صفرًا» في متغير أخير واحد.

والعدّ، كما ورد في الورقة:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— إحداثيان لكل نقطة من النقاط الإحدى والعشرين على المنحنى، وميل واحد مشترك، ومجهولان مساعدان لكل عملية من عمليات التحقق الإحدى والعشرين، ومتغير أخير يستوعب الباقي.

ليست الكلمة الأخيرة

يصرّح سون بأن 86 هو «حد أعلى توفّره هذه البنية»، لا ادعاءً بأن عددًا أقل من المجاهيل سيفشل. ففي الأعداد الصحيحة انتقل الرقم من 11 إلى 10؛ أما في الكسور، فالسباق قد بدأ للتو.

وتستند النتيجة أيضًا، وفقًا للمراجع، إلى أعمال حديثة لم تخضع للتحكيم العلمي: النسخة الأولية لـOpenAI من مطلع أكتوبر، وورقة سون نفسه ذات المجاهيل العشرة، المنشورة على arXiv هذا العام. وورقة سون هذه أيضًا نسخة أولية. وستخضع صفحاتها الاثنتان والأربعون في نظرية الأعداد — الغرابيل وأنماط الأعداد الأولية والمنحنيات الإهليلجية — الآن لتدقيق رياضيين آخرين.