有理数上的希尔伯特第十问题：86个未知数就够了

希尔伯特第十问题于1900年提出，它要求一种算法：对任意一个整系数多项式方程P(x₁, …, xₙ) = 0，判定它是否有整数解。1970年，马季亚谢维奇（Matiyasevich）在戴维斯（Davis）、普特南（Putnam）和罗宾逊（Robinson）1961年工作的基础上证明，这样的算法不存在。这个问题是不可判定的。

随后，数学家们开始计数：一个方程需要多少个未知数，这个问题才会变得不可判定？南京大学的孙智伟曾证明，对整数而言11个就够了，最近又把它降到了10个。

同一个问题，换成分数

如果把问题换成有理数——也就是分数——呢？经典的路线会经由整数：如果能用一个多项式方程把整数从有理数中挑出来，马季亚谢维奇的定理就可以移植过来。论文列出了其中的里程碑。罗宾逊在1949年给出了整数在有理数中的一个逻辑定义，普嫩（Poonen）在2009年将其简化。柯尼希斯曼（Koenigsmann）在2016年证明，非整数可以用这样一个方程来描述，后来的工作把所需的未知数数目减少到10个（Daans，2024年），随后又减少到7个（孙智伟）。

接着，论文写道：“就在不久前，OpenAI发布了一篇预印本”，证明了有理数上的希尔伯特第十问题是不可判定的。这篇预印本的日期为2026年10月6日，发布在OpenAI的一个GitHub仓库中，它依赖于孙智伟所说的“五接触高度估计”（five-contact height estimate）以及一个排除“奇极点”（odd poles）的构造。孙智伟的论文没有说明这篇预印本是如何产生的。

定理1.1

孙智伟的贡献是一个数字。定理1.1：HTP₈₆(ℚ)是不可判定的。 换言之：不存在一种算法，能对每一个整系数多项式f(x₁, …, x₈₆)判定f = 0是否有分数解。

证明把他自己关于整数的10个未知数的结果，输入到OpenAI预印本的那套机制中。一条固定椭圆曲线上的十个点——这里是定义在形如a + b√2的数上的y² = x³ − d₀²x，其中d₀ = 75 − 53√2——编码了十个整数。由高度估计检测出的特殊素数，让方程能够检验输入的多项式在这十个数处是否为零。一张有限的“守卫”清单排除了剩余的虚假解。与对整数解的直接搜索并行运行时，这就把任何一个关于分数的判定神谕（oracle）变成了一个关于整数的判定程序——而这样的程序是不可能存在的。

节省未知数

42页论文的大部分篇幅都用于“节约”。孙智伟列出了五种策略。一次坐标变换把高度估计的五个“接触点”移到有限点上。一个“斜率”变量同时服务于二十一项检验。曲线上一组共用的十一个点取代了许多各自独立的点——这需要构造能够彼此配合的整族素数，用到了推广的中国剩余定理以及陶哲轩（Tao）和齐格勒（Ziegler）关于素数中多项式模式的结果等。检验经过重新组织，用33个条件代替了42个。最后，所有剩余的代数选择和每一个“此处不得为零”的条件，都被并入最后一个变量中。

论文中写出的计数为：

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

——曲线上21个点各有两个坐标，一个共用的斜率，21项检验各有两个辅助未知数，再加上吸收其余一切的最后一个变量。

并非定论

孙智伟明确表示，86是“这一构造所提供的一个上界”，并不是说更少的未知数就一定不行。在整数上，这个数字从11降到了10；在分数上，竞赛才刚刚开始。

根据参考文献，这一结果还建立在尚未经过同行评审的近期工作之上：10月初的OpenAI预印本，以及孙智伟本人今年发布在arXiv上的关于10个未知数的论文。孙智伟的这篇论文同样是预印本。它那42页的数论内容——筛法、素数模式和椭圆曲线——接下来将由其他数学家检验。