LE DIXIÈME PROBLÈME DE HILBERT SUR LES FRACTIONS : 86 INCONNUES SUFFISENT

Le dixième problème de Hilbert, posé en 1900, demande un algorithme qui prenne n’importe quelle équation polynomiale à coefficients entiers, P(x₁, …, xₙ) = 0, et décide si elle a une solution en nombres entiers. En 1970, Matiyasevich, en s’appuyant sur des travaux de Davis, Putnam et Robinson datant de 1961, a démontré qu’un tel algorithme n’existe pas. Le problème est indécidable.

Les mathématiciens se sont alors mis à compter. Combien d’inconnues faut-il pour que la question devienne indécidable ? Zhi-Wei Sun, de l’université de Nankin, avait montré que 11 suffisent pour les entiers, et vient de descendre à 10.

La même question, pour les fractions

Posez la question pour les nombres rationnels — les fractions — et non plus pour les entiers. La voie classique passerait par les entiers : si l’on pouvait isoler les entiers parmi les rationnels avec une équation polynomiale, le théorème de Matiyasevich se transmettrait. L’article énumère les jalons. Robinson a donné en 1949 une définition logique des entiers dans les rationnels, simplifiée par Poonen en 2009. Koenigsmann a montré en 2016 que les non-entiers peuvent être décrits par une telle équation, et des travaux ultérieurs ont réduit le nombre d’inconnues nécessaire à 10 (Daans, 2024), puis 7 (Sun).

Puis, dit l’article, « tout récemment, OpenAI a publié un preprint » démontrant que le dixième problème de Hilbert sur les rationnels est indécidable. Ce preprint, daté du 6 octobre 2026 et mis à disposition sur un dépôt GitHub d’OpenAI, repose sur ce que Sun appelle une « estimation de hauteur à cinq contacts » et sur une construction qui exclut les « pôles impairs ». L’article de Sun ne dit pas comment il a été produit.

Théorème 1.1

L’apport de Sun est un nombre. Théorème 1.1 : HTP₈₆(ℚ) est indécidable. Autrement dit : aucun algorithme ne décide, pour tout polynôme f(x₁, …, x₈₆) à coefficients entiers, si f = 0 a une solution en fractions.

La preuve injecte son propre résultat à 10 inconnues sur les entiers dans la machinerie du preprint d’OpenAI. Dix points sur une courbe elliptique fixée — ici y² = x³ − d₀²x sur les nombres de la forme a + b√2, avec d₀ = 75 − 53√2 — encodent dix nombres entiers. Des nombres premiers particuliers, repérés par l’estimation de hauteur, permettent à l’équation de tester le polynôme d’entrée en ces dix entiers. Une liste finie de « gardes » écarte les fausses solutions restantes. Menée en parallèle d’une simple recherche de solutions entières, cette construction transformerait tout oracle pour les fractions en procédure de décision pour les entiers — qui ne peut pas exister.

Économiser des inconnues

L’essentiel des 42 pages sert à économiser. Sun énumère cinq stratégies. Un changement de coordonnées ramène les cinq « contacts » de l’estimation de hauteur à des points finis. Une seule variable de « pente » sert vingt et une vérifications à la fois. Un groupe commun de onze points sur la courbe remplace de nombreux groupes séparés — ce qui exige de construire des familles entières de nombres premiers compatibles entre eux, à l’aide d’un théorème des restes chinois généralisé et, entre autres, de résultats de Tao et Ziegler sur les motifs polynomiaux dans les nombres premiers. Les vérifications sont réorganisées pour que 33 conditions en remplacent 42. Et à la fin, chaque choix algébrique restant et chaque condition « ceci ne doit pas être nul » sont repliés dans une seule variable finale.

Le décompte, tel qu’écrit dans l’article :

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— deux coordonnées pour chacun des 21 points de la courbe, une pente commune, deux inconnues auxiliaires pour chacune des 21 vérifications, et une dernière variable qui absorbe le reste.

Pas le dernier mot

Sun précise que 86 est « une borne supérieure fournie par cette construction », pas une affirmation que moins d’inconnues échoueraient. Sur les entiers, le chiffre est passé de 11 à 10 ; sur les fractions, la course ne fait que commencer.

Le résultat s’empile aussi sur des travaux récents qui, d’après les références, n’ont pas été relus par les pairs : le preprint d’OpenAI de début octobre et l’article de Sun à 10 inconnues, déposé sur arXiv cette année. L’article de Sun est lui-même un preprint. Ses 42 pages de théorie des nombres — cribles, motifs dans les nombres premiers et courbes elliptiques — vont maintenant être vérifiées par d’autres mathématiciens.