O DÉCIMO PROBLEMA DE HILBERT NAS FRAÇÕES: 86 INCÓGNITAS BASTAM

O décimo problema de Hilbert, proposto em 1900, pede um algoritmo que receba qualquer equação polinomial com coeficientes inteiros, P(x₁, …, xₙ) = 0, e decida se ela tem solução em números inteiros. Em 1970, Matiyasevich, com base em trabalhos de Davis, Putnam e Robinson de 1961, provou que tal algoritmo não existe. O problema é indecidível.

Os matemáticos começaram então a contar. Quantas incógnitas uma equação precisa ter para que a questão se torne indecidível? Zhi-Wei Sun, da Universidade de Nanquim, tinha mostrado que 11 bastam para os números inteiros, e recentemente baixou esse número para 10.

A mesma pergunta, para as frações

Faça a pergunta para os números racionais — as frações. O caminho clássico passaria pelos números inteiros: se fosse possível isolar os inteiros entre os racionais por meio de uma equação polinomial, o teorema de Matiyasevich se transferiria. O artigo enumera os marcos. Robinson deu em 1949 uma definição lógica dos inteiros dentro dos racionais, simplificada por Poonen em 2009. Koenigsmann mostrou em 2016 que os não inteiros podem ser descritos por uma equação desse tipo, e trabalhos posteriores reduziram o número de incógnitas necessárias para isso a 10 (Daans, 2024) e depois a 7 (Sun).

Depois, diz o artigo, “muito recentemente, a OpenAI divulgou uma pré-publicação” provando que o décimo problema de Hilbert sobre os racionais é indecidível. Essa pré-publicação, datada de 6 de outubro de 2026 e disponibilizada num repositório GitHub da OpenAI, apoia-se no que Sun chama de “estimativa de altura com cinco contatos” e numa construção que exclui “polos ímpares”. O modo como ela foi produzida não é descrito no artigo de Sun.

Teorema 1.1

A contribuição de Sun é um número. Teorema 1.1: HTP₈₆(ℚ) é indecidível. Em palavras: não existe nenhum algoritmo que decida, para todo polinômio f(x₁, …, x₈₆) com coeficientes inteiros, se f = 0 tem solução em frações.

A demonstração insere o seu próprio resultado de 10 incógnitas para os inteiros na maquinaria da pré-publicação da OpenAI. Dez pontos numa curva elíptica fixa — aqui y² = x³ − d₀²x sobre os números a + b√2, com d₀ = 75 − 53√2 — codificam dez números inteiros. Primos especiais, detectados pela estimativa de altura, permitem que a equação verifique se o polinômio de entrada se anula nesses dez números. Uma lista finita de “guardas” descarta as falsas soluções que restam. Executado em paralelo com uma simples busca por soluções inteiras, isso transforma qualquer oráculo para as frações num procedimento de decisão para os inteiros — que não pode existir.

Economizar incógnitas

A maior parte das 42 páginas é dedicada à economia. Sun enumera cinco estratégias. Uma mudança de coordenadas leva os cinco “contatos” da estimativa de altura para pontos finitos. Uma única variável de “inclinação” serve a vinte e uma verificações de uma só vez. Um único grupo comcompartilhado de onze pontos na curva substitui muitos grupos separados — o que exige construir famílias inteiras de primos que se encaixem, usando, entre outros, um teorema chinês do resto generalizado e resultados de Tao e Ziegler sobre padrões polinomiais nos primos. As verificações são reorganizadas de modo que 33 condições substituam 42. E, no final, cada escolha algébrica restante e cada condição do tipo “isto não pode ser zero” são incorporadas a uma única variável final.

A contagem, escrita por extenso no artigo:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— duas coordenadas para cada um dos 21 pontos na curva, uma inclinação comcompartilhada, duas incógnitas auxiliares para cada uma das 21 verificações e uma última variável que absorve o resto.

Não é a palavra final

Sun deixa claro que 86 é “um limite superior fornecido por esta construção”, e não uma afirmação de que menos incógnitas falhariam. Para os números inteiros, o número passou de 11 para 10; para as frações, a corrida acaba de começar.

O resultado também se apoia em trabalhos recentes que não passaram por revisão por pares, segundo as referências: a pré-publicação da OpenAI do início de outubro e o próprio artigo de Sun sobre as 10 incógnitas, publicado no arXiv este ano. O artigo de Sun também é uma pré-publicação. As suas 42 páginas de teoria dos números — crivos, padrões de primos e curvas elípticas — serão agora verificadas por outros matemáticos.