کسراں اُتے ہلبرٹ دا دسواں مسئلہ: 86 نامعلوم کافی نیں

ہلبرٹ دا دسواں مسئلہ، جیہڑا 1900 وچ پیش کیتا گیا، اک ایسا الگورتھم منگدا اے جیہڑا پورے عدداں والے ضریباں دی کوئی وی کثیر رقمی مساوات، P(x₁, …, xₙ) = 0، لوے تے فیصلہ کرے پئی ایہدا پورے عدداں وچ کوئی حل اے یاں نہیں۔ 1970 وچ، Matiyasevich نے، 1961 دے Davis، Putnam تے Robinson دے کم اُتے اساری کر کے، ثابت کیتا پئی ایہو جیہا کوئی الگورتھم موجود نہیں۔ مسئلہ ناقابلِ فیصلہ (undecidable) اے۔

فیر ریاضی داناں نے گننا شروع کیتا۔ سوال دے ناقابلِ فیصلہ بنن توں پہلاں اک مساوات نوں کنے نامعلوم چاہیدے نیں؟ نانجنگ یونیورسٹی دے Zhi-Wei Sun نے وکھایا سی پئی پورے عدداں لئی 11 کافی نیں، تے کجھ چر پہلاں ایہنوں گھٹا کے 10 کر دتا۔

اوہو سوال، کسراں لئی

ایہدی تھاں سوال ناطق عدداں (rational numbers) — یعنی کسراں — لئی پچھو۔ روایتی رستہ پورے عدداں وچوں لنگھدا: جے تسیں کسے کثیر رقمی مساوات نال ناطق عدداں وچوں پورے عدداں نوں وکھرا کر سکو، تے Matiyasevich دا مسئلہ ایتھے وی لاگو ہو جاندا۔ مقالہ اہم سنگ میل گنواندا اے۔ Robinson نے 1949 وچ ناطق عدداں اندر پورے عدداں دی اک منطقی تعریف دتی، جیہنوں Poonen نے 2009 وچ سادہ کیتا۔ Koenigsmann نے 2016 وچ وکھایا پئی غیر پورے عدداں نوں ایہو جیہی مساوات نال بیان کیتا جا سکدا اے، تے اگلے کم نے ایہدے لئی لوڑیندے نامعلوماں دی گنتی 10 (Daans، 2024)، فیر 7 (Sun) تیک گھٹائی۔

فیر، مقالہ آکھدا اے، “بہت حال ای وچ، OpenAI نے اک پری پرنٹ جاری کیتا” جیہڑا ثابت کردا اے پئی ناطق عدداں اُتے ہلبرٹ دا دسواں مسئلہ ناقابلِ فیصلہ اے۔ ایہہ پری پرنٹ، جیہدی تریخ 6 اکتوبر 2026 اے تے جیہڑا OpenAI دی اک GitHub ریپوزٹری اُتے دستیاب کیتا گیا، اوس شے اُتے ٹکیا اے جیہنوں Sun “پنج رابطیاں والا اُچائی دا اندازہ” (five-contact height estimate) آکھدا اے، تے اک ایسی بناوٹ اُتے جیہڑی “طاق قطباں” (odd poles) نوں باہر رکھدی اے۔ ایہہ کیویں بنایا گیا، Sun دے مقالے وچ نہیں دسیا گیا۔

مسئلہ 1.1

Sun دا حصہ اک عدد اے۔ مسئلہ 1.1: HTP₈₆(ℚ) ناقابلِ فیصلہ اے۔ لفظاں وچ: کوئی الگورتھم نہیں جیہڑا پورے عدداں والے ضریباں دے ہر کثیر رقمی f(x₁, …, x₈₆) لئی فیصلہ کرے پئی f = 0 دا کسراں وچ کوئی حل اے یاں نہیں۔

ثبوت اوہدا اپنا پورے عدداں والا 10 نامعلوماں دا نتیجہ OpenAI پری پرنٹ دی مشینری وچ پاندا اے۔ اک مقررہ بیضوی منحنی اُتے دس نقطے — ایتھے a + b√2 عدداں اُتے y² = x³ − d₀²x، جتھے d₀ = 75 − 53√2 — دس پورے عدداں نوں رمز کردے نیں۔ خاص مفرد عدد، جنہاں نوں اُچائی دا اندازہ لبھدا اے، مساوات نوں ایہہ جانچن دیندے نیں پئی دتا گیا کثیر رقمی اوہناں دس عدداں اُتے صفر ہوندا اے یاں نہیں۔ “پہرے داراں” (guards) دی اک محدود لسٹ باقی بچے جھوٹے حلاں نوں رد کردی اے۔ پورے عدداں دے حلاں دی اک سدھی بھال نال نال چلائی جاوے، تے ایہہ کسراں لئی کسے وی اوریکل نوں پورے عدداں لئی فیصلے دے طریقے وچ بدل دیندی اے — جیہڑا ہو ای نہیں سکدا۔

نامعلوماں دی بچت

42 صفحیاں دا بہتا حصہ کفایت اُتے لگدا اے۔ Sun پنج حکمت عملیاں گنواندا اے۔ کوآرڈینیٹاں دی اک تبدیلی اُچائی دے اندازے دے پنج “رابطیاں” نوں محدود نقطیاں اُتے لے جاندی اے۔ اکو “ڈھلوان” (slope) متغیر اکو ویلے اکی جانچاں دے کم آندا اے۔ منحنی اُتے یاراں نقطیاں دا اک سانجھا ٹولہ کئی وکھرے ٹولیاں دی تھاں لیندا اے — جیہدے لئی مفرد عدداں دے پورے ٹبر بنانے پیندے نیں جیہڑے اک دوجے نال فٹ ہون، ہور چیزاں دے نال اک عام کیتا چینی بقیہ مسئلہ (Chinese remainder theorem) تے مفرد عدداں وچ کثیر رقمی نمونیاں بارے Tao تے Ziegler دے نتیجے ورت کے۔ جانچاں نوں ایس طرحاں مڑ ترتیب دتا جاندا اے پئی 42 دی تھاں 33 شرطاں کافی ہون۔ تے آخر وچ، ہر بچی الجبری چون تے ہر “ایہہ صفر نہیں ہونا چاہیدا” والی شرط اک آخری متغیر وچ تہہ کر دتی جاندی اے۔

گنتی، جیویں مقالے وچ لکھی گئی:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— منحنی اُتے 21 نقطیاں وچوں ہر اک لئی دو کوآرڈینیٹ، اک سانجھی ڈھلوان، 21 جانچاں وچوں ہر اک لئی دو مددگار نامعلوم، تے اک آخری متغیر جیہڑا باقی سب سمو لیندا اے۔

آخری گل نہیں

Sun صاف آکھدا اے پئی 86 “ایس بناوٹ ولوں دتی گئی اک اُتلی حد” اے، ایہہ دعویٰ نہیں پئی گھٹ نامعلوم ناکام ہون گے۔ پورے عدداں اُتے، گنتی 11 توں 10 ہوئی؛ کسراں اُتے، دوڑ ہنے ای شروع ہوئی اے۔

حوالیاں مطابق، ایہہ نتیجہ اوس حالیہ کم اُتے وی کھلوتا اے جیہڑا ہلے ہم مرتبہ جائزے وچوں نہیں لنگھیا: اکتوبر دے شروع دا OpenAI پری پرنٹ تے Sun دا اپنا 10 نامعلوماں والا مقالہ، جیہڑا ایس سال arXiv اُتے پایا گیا۔ Sun دا مقالہ وی پری پرنٹ اے۔ ایہدے عدداں دے نظریے دے 42 صفحے — چھاننیاں (sieves)، مفرد عدداں دے نمونے تے بیضوی منحنیاں — ہن دوجے ریاضی دان جانچن گے۔