分数でのヒルベルトの第10問題：未知数は86個で足りる

1900年に出されたヒルベルトの第10問題は、整数係数のどんな多項式方程式 P(x₁, …, xₙ) = 0 を受け取っても、それが整数の解をもつかどうかを判定するアルゴリズムを求めるものだ。1970年、マチヤセビッチ（Matiyasevich）は、1961年のデイヴィス（Davis）、パトナム（Putnam）、ロビンソン（Robinson）の研究を土台に、そのようなアルゴリズムが存在しないことを証明した。この問題は決定不能なのである。

そこで数学者たちは数を数え始めた。問いが決定不能になるには、方程式に未知数がいくつ必要なのか。南京大学の孫智偉（Zhi-Wei Sun）は、整数については11個で足りることを示しており、最近それを10個にまで下げた。

同じ問いを、分数で

代わりに有理数、つまり分数について同じ問いを立ててみよう。古典的な道筋は整数を経由する。有理数のなかから整数だけを多項式方程式で選び出せれば、マチヤセビッチの定理がそのまま引き継がれる。論文はその節目を並べている。ロビンソンは1949年に有理数のなかでの整数の論理的な定義を与え、2009年にプーネン（Poonen）がそれを簡単にした。2016年にケーニヒスマン（Koenigsmann）は、整数でないものをそのような方程式で記述できることを示し、その後の研究で、そのために必要な未知数の数は10個（ダーンス〈Daans〉、2024年）、さらに7個（孫）にまで減った。

そして論文によれば、「ごく最近、OpenAIがプレプリントを公開した」。有理数上のヒルベルトの第10問題が決定不能であることを証明したものだ。2026年10月6日付で、OpenAIのGitHubリポジトリで公開されたこのプレプリントは、孫が「5接触高さ評価（five-contact height estimate）」と呼ぶものと、「奇数位の極（odd poles）」を排除する構成に基づいている。それがどのようにつくられたのかは、孫の論文には書かれていない。

定理1.1

孫の貢献は、ひとつの数だ。定理1.1：HTP₈₆(ℚ)は決定不能である。言葉で言えば、整数係数のすべての多項式 f(x₁, …, x₈₆) について、f = 0 が分数の解をもつかどうかを判定するアルゴリズムは存在しない。

証明は、整数についての彼自身の未知数10個の結果を、OpenAIのプレプリントの仕組みに組み込む。固定された楕円曲線上の10個の点が、10個の整数を符号化する。ここでの曲線は、a + b√2 の形の数の上での y² = x³ − d₀²x で、d₀ = 75 − 53√2 である。高さ評価で検出される特別な素数によって、方程式は、入力の多項式がその10個の数で0になるかどうかを確かめることができる。有限個の「ガード」のリストが、残る偽の解を排除する。整数解の素朴な探索と並行して走らせると、これによって分数についてのどんなオラクル（判定装置）も、整数についての判定手続きに変わってしまう。だがそんなものは存在しえない。

未知数を節約する

42ページの大部分は節約に費やされている。孫は5つの戦略を挙げる。座標変換で、高さ評価の5つの「接触」を有限の点に移す。1つの「傾き」変数で、21個の確認を一度にまかなう。曲線上の11個の点からなる1つの共有グループで、多くの別々の点の代わりをさせる。これには、互いにかみ合う素数の族をまるごと構成する必要があり、一般化された中国剰余定理や、素数のなかの多項式パターンに関するタオ（Tao）とジーグラー（Ziegler）の結果などが使われる。確認作業を組み直し、42個の条件を33個で置き換える。そして最後に、残ったすべての代数的な選択と、すべての「これは0であってはならない」という条件を、最後の1つの変数に折りたたむ。

論文に書かれた数え上げは次のとおりだ。

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

曲線上の21個の点それぞれに2つの座標、共有の傾きが1つ、21個の確認それぞれに補助の未知数が2つ、そして残りを吸収する最後の変数が1つである。

最後の言葉ではない

孫は、86は「この構成から得られる上界」であって、それより少ない未知数ではうまくいかないという主張ではないと明言している。整数では、その数は11から10になった。分数では、競争は始まったばかりだ。

参考文献によれば、この結果は、査読を経ていない最近の研究の上にも積み重なっている。10月初めのOpenAIのプレプリントと、今年arXivに投稿された孫自身の未知数10個の論文だ。孫の論文もプレプリントである。ふるい法、素数のパターン、楕円曲線を駆使した42ページの数論は、これからほかの数学者たちによって検証される。