BÀI TOÁN THỨ MƯỜI CỦA HILBERT TRÊN PHÂN SỐ: 86 ẨN LÀ ĐỦ

Bài toán thứ mười của Hilbert, được nêu ra năm 1900, đòi hỏi một thuật toán nhận vào một phương trình đa thức bất kỳ với hệ số nguyên, P(x₁, …, xₙ) = 0, và quyết định xem nó có nghiệm là số nguyên hay không. Năm 1970, Matiyasevich, dựa trên công trình năm 1961 của Davis, Putnam và Robinson, đã chứng minh rằng không tồn tại thuật toán như vậy. Bài toán là không quyết định được (undecidable).

Từ đó các nhà toán học bắt đầu đếm. Một phương trình cần bao nhiêu ẩn thì câu hỏi trở nên không quyết định được? Zhi-Wei Sun, tại Đại học Nam Kinh, đã chỉ ra rằng 11 ẩn là đủ với số nguyên, và gần đây đưa con số xuống còn 10.

Cùng câu hỏi, cho phân số

Hãy đặt câu hỏi đó cho số hữu tỉ — tức phân số — thay vì số nguyên. Con đường cổ điển sẽ đi qua số nguyên: nếu bạn có thể tách riêng các số nguyên ra khỏi các số hữu tỉ bằng một phương trình đa thức, định lý Matiyasevich sẽ được chuyển sang. Bài báo liệt kê các cột mốc. Robinson đưa ra một định nghĩa logic cho số nguyên bên trong số hữu tỉ năm 1949, được Poonen đơn giản hóa năm 2009. Koenigsmann chỉ ra năm 2016 rằng những số không nguyên có thể được mô tả bằng một phương trình như vậy, và các công trình sau đó đã giảm số ẩn cần thiết cho việc này xuống 10 (Daans, 2024), rồi 7 (Sun).

Rồi, theo bài báo, “gần đây, OpenAI đã công bố một bản tiền ấn phẩm” chứng minh rằng bài toán thứ mười của Hilbert trên số hữu tỉ là không quyết định được. Bản tiền ấn phẩm đó, đề ngày 6 tháng 10 năm 2026 và được công bố trên một kho GitHub của OpenAI, dựa trên cái mà Sun gọi là một “ước lượng độ cao năm tiếp xúc” (five-contact height estimate) và một cách xây dựng loại trừ “các cực lẻ” (odd poles). Bài báo của Sun không mô tả nó đã được tạo ra như thế nào.

Định lý 1.1

Đóng góp của Sun là một con số. Định lý 1.1: HTP₈₆(ℚ) là không quyết định được. Nói cách khác: không có thuật toán nào quyết định được, với mọi đa thức f(x₁, …, x₈₆) có hệ số nguyên, liệu f = 0 có nghiệm phân số hay không.

Chứng minh đưa kết quả 10 ẩn cho số nguyên của chính ông vào bộ máy của bản tiền ấn phẩm OpenAI. Mười điểm trên một đường cong elliptic cố định — ở đây là y² = x³ − d₀²x trên các số dạng a + b√2, với d₀ = 75 − 53√2 — mã hóa mười số nguyên. Những số nguyên tố đặc biệt, được phát hiện nhờ ước lượng độ cao, cho phép phương trình kiểm tra xem đa thức đầu vào có triệt tiêu tại mười số đó hay không. Một danh sách hữu hạn các “chốt chặn” (guards) loại bỏ những nghiệm giả còn sót lại. Chạy song song với một phép tìm kiếm đơn thuần các nghiệm nguyên, điều này biến bất kỳ “nhà tiên tri” (oracle) nào cho phân số thành một thủ tục quyết định cho số nguyên — thứ không thể tồn tại.

Tiết kiệm ẩn số

Phần lớn trong 42 trang dành cho việc tiết kiệm. Sun liệt kê năm chiến lược. Một phép đổi tọa độ chuyển năm “điểm tiếp xúc” của ước lượng độ cao về các điểm hữu hạn. Một biến “độ dốc” duy nhất phục vụ hai mươi mốt phép kiểm tra cùng lúc. Một nhóm chung gồm mười một điểm trên đường cong thay thế cho nhiều nhóm riêng rẽ — điều này đòi hỏi phải xây dựng cả những họ số nguyên tố khớp với nhau, sử dụng định lý phần dư Trung Hoa tổng quát và các kết quả của Tao và Ziegler về các mẫu đa thức trong tập số nguyên tố, cùng nhiều công cụ khác. Các phép kiểm tra được tổ chức lại để 33 điều kiện thay cho 42. Và cuối cùng, mọi lựa chọn đại số còn sót lại và mọi điều kiện “cái này không được bằng không” được gộp vào một biến cuối cùng.

Phép đếm, được viết ra trong bài báo:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— hai tọa độ cho mỗi điểm trong 21 điểm trên đường cong, một độ dốc chung, hai ẩn phụ cho mỗi phép kiểm tra trong 21 phép, và một biến cuối cùng hấp thụ phần còn lại.

Chưa phải lời cuối

Sun nói rõ rằng 86 là “một cận trên do cách xây dựng này cung cấp”, không phải một khẳng định rằng ít ẩn hơn sẽ thất bại. Với số nguyên, con số đã đi từ 11 xuống 10; với phân số, cuộc đua mới chỉ bắt đầu.

Theo danh mục tài liệu tham khảo, kết quả này cũng dựa trên những công trình gần đây chưa qua bình duyệt: bản tiền ấn phẩm của OpenAI từ đầu tháng 10 và bài báo 10 ẩn của chính Sun, được đăng trên arXiv năm nay. Bài báo của Sun cũng là một bản tiền ấn phẩm. 42 trang lý thuyết số của nó — phương pháp sàng, các mẫu số nguyên tố và đường cong elliptic — giờ sẽ được các nhà toán học khác kiểm tra.