अपूर्णांकांवरील हिल्बर्टचा दहावा प्रश्न: 86 अज्ञात पुरेसे

1900 मध्ये मांडलेला हिल्बर्टचा दहावा प्रश्न असा अल्गोरिदम मागतो जो पूर्णांक सहगुणक असलेले कोणतेही बहुपदी समीकरण, P(x₁, …, xₙ) = 0, घेऊन त्याला पूर्णांकांमध्ये उकल आहे की नाही हे ठरवेल. 1970 मध्ये मातियासेविच (Matiyasevich) यांनी, 1961 मधील डेव्हिस (Davis), पटनम (Putnam) आणि रॉबिन्सन (Robinson) यांच्या कामावर आधारित, सिद्ध केले की असा अल्गोरिदम अस्तित्वात नाही. हा प्रश्न अनिर्णेय (undecidable) आहे.

मग गणितज्ञांनी मोजणी सुरू केली. प्रश्न अनिर्णेय होण्यासाठी समीकरणात किती अज्ञात लागतात? नानजिंग विद्यापीठातील झी-वेई सुन यांनी दाखवले होते की पूर्णांकांसाठी 11 पुरेसे आहेत, आणि अलीकडेच ही संख्या 10 पर्यंत खाली आणली.

तोच प्रश्न, अपूर्णांकांसाठी

त्याऐवजी हा प्रश्न परिमेय संख्यांसाठी — म्हणजे अपूर्णांकांसाठी — विचारा. पारंपरिक मार्ग पूर्णांकांमधून जाईल: परिमेय संख्यांमधून पूर्णांक एका बहुपदी समीकरणाने वेगळे काढता आले, तर मातियासेविचचे प्रमेय तिथे लागू होईल. शोधनिबंध हे टप्पे नोंदवतो. रॉबिन्सन यांनी 1949 मध्ये परिमेय संख्यांच्या आत पूर्णांकांची तार्किक व्याख्या दिली, जी पूनेन (Poonen) यांनी 2009 मध्ये सोपी केली. कोनिग्समान (Koenigsmann) यांनी 2016 मध्ये दाखवले की पूर्णांक नसलेल्या संख्यांचे वर्णन अशा समीकरणाने करता येते, आणि नंतरच्या कामाने त्यासाठी लागणाऱ्या अज्ञातांची संख्या 10 (डान्स, Daans, 2024), मग 7 (सुन) पर्यंत कमी केली.

मग, शोधनिबंध म्हणतो, “अगदी अलीकडे, OpenAI ने एक प्रीप्रिंट प्रसिद्ध केले” ज्याने सिद्ध केले की परिमेय संख्यांवरील हिल्बर्टचा दहावा प्रश्न अनिर्णेय आहे. 6 ऑक्टोबर 2026 तारखेचे आणि OpenAI च्या एका GitHub भांडारावर उपलब्ध करून दिलेले ते प्रीप्रिंट, सुन ज्याला “पाच-संपर्क उंची-अंदाज” (five-contact height estimate) म्हणतात त्यावर आणि “विषम ध्रुव” (odd poles) वगळणाऱ्या एका रचनेवर आधारित आहे. ते कसे तयार झाले याचे वर्णन सुन यांच्या शोधनिबंधात नाही.

प्रमेय 1.1

सुन यांचे योगदान म्हणजे एक संख्या. प्रमेय 1.1: HTP₈₆(ℚ) अनिर्णेय आहे. शब्दांत: पूर्णांक सहगुणक असलेल्या प्रत्येक बहुपदी f(x₁, …, x₈₆) साठी, f = 0 ला अपूर्णांकांमध्ये उकल आहे की नाही हे ठरवणारा कोणताही अल्गोरिदम नाही.

सिद्धता पूर्णांकांसाठीचा त्यांचा स्वतःचा 10-अज्ञातांचा निकाल OpenAI प्रीप्रिंटच्या यंत्रणेत घालते. एका ठरावीक लंबवर्तुळाकार वक्रावरील (elliptic curve) दहा बिंदू — इथे a + b√2 स्वरूपाच्या संख्यांवर y² = x³ − d₀²x, जिथे d₀ = 75 − 53√2 — दहा पूर्णांकांचे संकेतन करतात. उंची-अंदाजाने शोधलेल्या विशेष मूळ संख्यांमुळे, दिलेली बहुपदी त्या दहा संख्यांवर शून्य होते की नाही हे समीकरण तपासू शकते. “रक्षकांची” एक मर्यादित यादी उरलेल्या खोट्या उकली बाद करते. पूर्णांक उकलींच्या साध्या शोधाबरोबर समांतर चालवले, की हे अपूर्णांकांसाठीच्या कोणत्याही निर्णय-यंत्राचे (oracle) पूर्णांकांसाठीच्या निर्णय-प्रक्रियेत रूपांतर करते — जी अस्तित्वात असू शकत नाही.

अज्ञातांची बचत

42 पानांपैकी बहुतांश भाग काटकसरीसाठी खर्ची पडतो. सुन पाच रणनीती नोंदवतात. निर्देशांकांचा बदल उंची-अंदाजाचे पाच “संपर्क” मर्यादित बिंदूंवर हलवतो. एकच “उतार” चल एकाच वेळी एकवीस तपासण्या करतो. वक्रावरील अकरा बिंदूंचा एक सामायिक गट अनेक स्वतंत्र गटांची जागा घेतो — त्यासाठी एकमेकांत बसणारी मूळ संख्यांची संपूर्ण कुळे रचावी लागतात, ज्यासाठी इतर गोष्टींबरोबर सामान्यीकृत चिनी शेष प्रमेय आणि मूळ संख्यांमधील बहुपदी आकृतिबंधांवरील टाओ (Tao) व झिगलर (Ziegler) यांचे निकाल वापरले जातात. तपासण्यांची पुनर्रचना केली जाते, जेणेकरून 42 ऐवजी 33 अटी पुरतात. आणि शेवटी, उरलेली प्रत्येक बैजिक निवड आणि “हे शून्य असता कामा नये” अशी प्रत्येक अट एकाच अंतिम चलात सामावली जाते.

शोधनिबंधात लिहिलेली मोजणी:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— वक्रावरील 21 बिंदूंपैकी प्रत्येकासाठी दोन निर्देशांक, एक सामायिक उतार, 21 तपासण्यांपैकी प्रत्येकीसाठी दोन साहाय्यक अज्ञात, आणि उरलेले सर्व सामावून घेणारे एक शेवटचे चल.

अंतिम शब्द नव्हे

सुन स्पष्टपणे सांगतात की 86 ही “या रचनेने दिलेली वरची मर्यादा” आहे, कमी अज्ञातांनी काम होणार नाही असा दावा नव्हे. पूर्णांकांवर ही संख्या 11 वरून 10 वर आली; अपूर्णांकांवर ही शर्यत नुकतीच सुरू झाली आहे.

संदर्भांनुसार, हा निकाल समीक्षेतून न गेलेल्या अलीकडच्या कामावरही उभा आहे: ऑक्टोबरच्या सुरुवातीचे OpenAI प्रीप्रिंट आणि या वर्षी arXiv वर टाकलेला सुन यांचा स्वतःचा 10-अज्ञातांचा शोधनिबंध. सुन यांचा शोधनिबंधही प्रीप्रिंटच आहे. त्यातील संख्या-सिद्धांताची 42 पाने — चाळण्या, मूळ संख्यांचे आकृतिबंध आणि लंबवर्तुळाकार वक्र — आता इतर गणितज्ञ तपासतील.