مسئلهٔ دهم هیلبرت روی کسرها: 86 مجهول کافی است

مسئلهٔ دهم هیلبرت که در 1900 مطرح شد، الگوریتمی می‌خواهد که هر معادلهٔ چندجمله‌ای با ضرایب صحیح، P(x₁, …, xₙ) = 0، را بگیرد و تشخیص دهد که آیا در اعداد صحیح جوابی دارد یا نه. در 1970، ماتیاسویچ با تکیه بر کار دیویس، پاتنم و رابینسون از 1961 ثابت کرد که چنین الگوریتمی وجود ندارد. این مسئله تصمیم‌ناپذیر (undecidable) است.

ریاضی‌دانان سپس به شمردن پرداختند. یک معادله پیش از آنکه پرسش تصمیم‌ناپذیر شود به چند مجهول نیاز دارد؟ ژی-وی سون در دانشگاه نانجینگ نشان داده بود که برای اعداد صحیح 11 مجهول کافی است و به‌تازگی آن را به 10 رسانده است.

همان پرسش، برای کسرها

این بار پرسش را برای اعداد گویا — کسرها — مطرح کنید. راه کلاسیک از اعداد صحیح می‌گذشت: اگر می‌توانستید با یک معادلهٔ چندجمله‌ای اعداد صحیح را از میان اعداد گویا جدا کنید، قضیهٔ ماتیاسویچ به این حالت هم منتقل می‌شد. مقاله نقاط عطف را برمی‌شمارد. رابینسون در 1949 تعریفی منطقی از اعداد صحیح درون اعداد گویا ارائه داد که پونن در 2009 آن را ساده کرد. کونیگسمان در 2016 نشان داد که اعداد ناصحیح را می‌توان با چنین معادله‌ای توصیف کرد، و کارهای بعدی شمار مجهول‌های لازم برای این کار را به 10 (دانس، 2024) و سپس 7 (سون) کاهش دادند.

آنگاه، به گفتهٔ مقاله، «همین اواخر، OpenAI پیش‌چاپی منتشر کرد» که ثابت می‌کند مسئلهٔ دهم هیلبرت روی اعداد گویا تصمیم‌ناپذیر است. این پیش‌چاپ که تاریخ 6 اکتبر 2026 دارد و در یکی از مخزن‌های GitHub شرکت OpenAI در دسترس قرار گرفته، بر چیزی تکیه دارد که سون آن را «برآورد ارتفاع پنج‌تماسی» (five-contact height estimate) می‌نامد و بر ساختاری که «قطب‌های فرد» (odd poles) را کنار می‌گذارد. چگونگی تولید آن در مقالهٔ سون شرح داده نشده است.

قضیهٔ 1.1

سهم سون یک عدد است. قضیهٔ 1.1: HTP₈₆(ℚ) تصمیم‌ناپذیر است. به زبان ساده: هیچ الگوریتمی وجود ندارد که برای هر چندجمله‌ای f(x₁, …, x₈₆) با ضرایب صحیح تشخیص دهد آیا f = 0 جوابی در کسرها دارد یا نه.

اثبات، نتیجهٔ 10 مجهولی خود او برای اعداد صحیح را به سازوکار پیش‌چاپ OpenAI می‌سپارد. ده نقطه روی یک خم بیضوی ثابت — اینجا y² = x³ − d₀²x روی اعداد a + b√2، با d₀ = 75 − 53√2 — ده عدد صحیح را رمزگذاری می‌کنند. اعداد اول ویژه‌ای که برآورد ارتفاع آن‌ها را شناسایی می‌کند، به معادله امکان می‌دهند بررسی کند که آیا چندجمله‌ای ورودی در آن ده عدد صفر می‌شود یا نه. فهرستی متناهی از «نگهبان‌ها» (guards) جواب‌های کاذب باقی‌مانده را حذف می‌کند. اگر این سازوکار در کنار جست‌وجویی ساده برای جواب‌های صحیح اجرا شود، هر پیشگوی (oracle) کسرها را به رویه‌ای تصمیم‌گیر برای اعداد صحیح بدل می‌کند — که نمی‌تواند وجود داشته باشد.

صرفه‌جویی در مجهول‌ها

بیشتر 42 صفحهٔ مقاله صرف صرفه‌جویی می‌شود. سون پنج راهبرد را برمی‌شمارد. یک تغییر مختصات، پنج «تماس» برآورد ارتفاع را به نقاط متناهی می‌برد. یک متغیر «شیب» واحد هم‌زمان به کار بیست‌ویک آزمون می‌آید. یک گروه مشترک از یازده نقطه روی خم جای بسیاری گروه جداگانه را می‌گیرد — که مستلزم ساختن خانواده‌های کاملی از اعداد اول است که با هم جور باشند، با استفاده از جمله قضیهٔ باقی‌ماندهٔ چینی تعمیم‌یافته و نتایج تائو و زیگلر دربارهٔ الگوهای چندجمله‌ای در اعداد اول. آزمون‌ها چنان بازآرایی می‌شوند که 33 شرط جای 42 شرط را بگیرند. و در پایان، هر انتخاب جبری باقی‌مانده و هر شرط «این نباید صفر باشد» در یک متغیر نهایی جمع می‌شود.

شمارش، چنان‌که در مقاله نوشته شده:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— دو مختصه برای هر یک از 21 نقطهٔ روی خم، یک شیب مشترک، دو مجهول کمکی برای هر یک از 21 آزمون، و یک متغیر واپسین که بقیه را در خود جذب می‌کند.

حرف آخر نیست

سون صریح می‌گوید که 86 «کرانی بالاست که این ساختار فراهم می‌کند»، نه ادعایی مبنی بر اینکه مجهول‌های کمتر کارساز نخواهند بود. روی اعداد صحیح، این رقم از 11 به 10 رسید؛ روی کسرها، مسابقه تازه آغاز شده است.

به گواهی منابع، این نتیجه بر کارهای تازه‌ای هم استوار است که هنوز داوری همتا نشده‌اند: پیش‌چاپ OpenAI از اوایل اکتبر و مقالهٔ 10 مجهولی خود سون که امسال در arXiv قرار گرفت. مقالهٔ سون هم پیش‌چاپ است. 42 صفحهٔ نظریهٔ اعداد آن — غربال‌ها، الگوهای اعداد اول و خم‌های بیضوی — اکنون به دست ریاضی‌دانان دیگر وارسی خواهد شد.