ДЕСЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ ДРОБЕЙ: ДОСТАТОЧНО 86 НЕИЗВЕСТНЫХ

Десятая проблема Гильберта, поставленная в 1900 году, требует алгоритма, который берёт любое полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами P(x₁, …, xₙ) = 0 и определяет, есть ли у него решение в целых числах. В 1970 году Матиясевич, опираясь на работу Дэвиса, Патнэма и Робинсон 1961 года, доказал, что такого алгоритма не существует. Проблема алгоритмически неразрешима.

Тогда математики начали считать. Сколько неизвестных нужно уравнению, чтобы вопрос стал неразрешимым? Чжи-Вэй Сунь из Нанкинского университета показал, что для целых чисел достаточно 11, а недавно снизил это число до 10.

Тот же вопрос — для дробей

Теперь зададим вопрос для рациональных чисел — дробей. Классический путь лежал бы через целые числа: если бы удалось выделить целые числа среди рациональных с помощью полиномиального уравнения, теорема Матиясевича перенеслась бы автоматически. Статья перечисляет вехи. Робинсон в 1949 году дала логическое определение целых чисел внутри рациональных, упрощённое Пуненом в 2009 году. Кёнигсман в 2016 году показал, что нецелые числа можно описать таким уравнением, а последующие работы сократили нужное для этого число неизвестных до 10 (Даанс, 2024), а затем до 7 (Сунь).

Затем, как говорится в статье, «совсем недавно OpenAI выпустила препринт», доказывающий, что десятая проблема Гильберта над рациональными числами неразрешима. Этот препринт, датированный 6 октября 2026 года и выложенный в репозитории OpenAI на GitHub, опирается на то, что Сунь называет «оценкой высоты с пятью контактами», и на конструкцию, исключающую «нечётные полюсы». Как он был получен, в статье Суня не описано.

Теорема 1.1

Вклад Суня — число. Теорема 1.1: HTP₈₆(ℚ) неразрешима. Словами: не существует алгоритма, который для каждого многочлена f(x₁, …, x₈₆) с целыми коэффициентами определял бы, имеет ли уравнение f = 0 решение в дробях.

Доказательство встраивает собственный результат Суня о 10 неизвестных для целых чисел в механизм препринта OpenAI. Десять точек на фиксированной эллиптической кривой — здесь y² = x³ − d₀²x над числами вида a + b√2, где d₀ = 75 − 53√2, — кодируют десять целых чисел. Специальные простые числа, обнаруживаемые с помощью оценки высоты, позволяют уравнению проверить, обращается ли входной многочлен в ноль на этих десяти числах. Конечный список «стражей» отсекает оставшиеся ложные решения. Если запустить это параллельно с обычным перебором целочисленных решений, любой оракул для дробей превращается в разрешающую процедуру для целых чисел — а такой существовать не может.

Экономия неизвестных

Большая часть из 42 страниц посвящена экономии. Сунь перечисляет пять стратегий. Замена координат переносит пять «контактов» оценки высоты в конечные точки. Одна переменная «наклона» обслуживает сразу двадцать одну проверку. Одна общая группа из одиннадцати точек на кривой заменяет множество отдельных групп — для этого приходится строить целые семейства согласованных между собой простых чисел, используя, среди прочего, обобщённую китайскую теорему об остатках и результаты Тао и Циглера о полиномиальных закономерностях в простых числах. Проверки перестроены так, что 33 условия заменяют 42. И в конце каждый оставшийся алгебраический выбор и каждое условие вида «это не должно быть нулём» сворачиваются в одну последнюю переменную.

Подсчёт, выписанный в статье:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— по две координаты для каждой из 21 точки на кривой, один общий наклон, по две вспомогательные неизвестные для каждой из 21 проверки и одна последняя переменная, которая поглощает всё остальное.

Не последнее слово

Сунь прямо пишет, что 86 — это «верхняя оценка, которую даёт данная конструкция», а не утверждение, что с меньшим числом неизвестных ничего не выйдет. Для целых чисел число снизилось с 11 до 10; для дробей гонка только началась.

Кроме того, судя по списку литературы, результат опирается на недавние работы, не прошедшие рецензирования: препринт OpenAI начала октября и собственную статью Суня о 10 неизвестных, размещённую в arXiv в этом году. Статья Суня — тоже препринт. Её 42 страницы теории чисел — решёта, закономерности в простых числах и эллиптические кривые — теперь предстоит проверить другим математикам.