भिन्नों पर हिल्बर्ट की दसवीं समस्या: 86 अज्ञात काफ़ी हैं

1900 में रखी गई हिल्बर्ट की दसवीं समस्या एक ऐसा एल्गोरिद्म माँगती है जो पूर्णांक गुणांकों वाला कोई भी बहुपद समीकरण P(x₁, …, xₙ) = 0 ले और तय करे कि उसका पूर्णांकों में हल है या नहीं। 1970 में मातियासेविच (Matiyasevich) ने, डेविस (Davis), पुटनम (Putnam) और रॉबिन्सन (Robinson) के 1961 के काम पर आगे बढ़ते हुए, सिद्ध किया कि ऐसा कोई एल्गोरिद्म मौजूद नहीं है। यह समस्या अनिर्णेय (undecidable) है।

फिर गणितज्ञों ने गिनना शुरू किया। किसी समीकरण में कितने अज्ञात होने चाहिए कि प्रश्न अनिर्णेय हो जाए? नानजिंग विश्वविद्यालय के झी-वेई सुन (Zhi-Wei Sun) ने दिखाया था कि पूर्णांकों के लिए 11 काफ़ी हैं, और हाल ही में इसे घटाकर 10 कर दिया।

वही प्रश्न, भिन्नों के लिए

अब यही प्रश्न परिमेय संख्याओं — यानी भिन्नों — के लिए पूछिए। पारंपरिक रास्ता पूर्णांकों से होकर जाता: अगर आप किसी बहुपद समीकरण से परिमेय संख्याओं में से पूर्णांकों को अलग पहचान सकें, तो मातियासेविच का प्रमेय वहाँ भी लागू हो जाता। शोधपत्र मील के पत्थर गिनाता है। रॉबिन्सन ने 1949 में परिमेय संख्याओं के भीतर पूर्णांकों की एक तार्किक परिभाषा दी, जिसे पूनेन (Poonen) ने 2009 में सरल किया। कोनिग्समान (Koenigsmann) ने 2016 में दिखाया कि अ-पूर्णांकों का वर्णन ऐसे समीकरण से किया जा सकता है, और बाद के काम ने इसके लिए ज़रूरी अज्ञातों की संख्या 10 (डान्स/Daans, 2024), फिर 7 (सुन) तक घटा दी।

फिर, शोधपत्र कहता है, “हाल ही में OpenAI ने एक प्रीप्रिंट जारी किया” जिसने सिद्ध किया कि परिमेय संख्याओं पर हिल्बर्ट की दसवीं समस्या अनिर्णेय है। 6 अक्टूबर 2026 का वह प्रीप्रिंट, जो OpenAI की एक GitHub रिपॉज़िटरी पर उपलब्ध कराया गया, उस पर टिका है जिसे सुन “पाँच-संपर्क ऊँचाई आकलन” (five-contact height estimate) कहते हैं, और एक ऐसी रचना पर जो “विषम ध्रुवों” (odd poles) को बाहर रखती है। यह कैसे तैयार हुआ, इसका वर्णन सुन के शोधपत्र में नहीं है।

प्रमेय 1.1

सुन का योगदान एक संख्या है। प्रमेय 1.1: HTP₈₆(ℚ) अनिर्णेय है। शब्दों में: ऐसा कोई एल्गोरिद्म नहीं है जो पूर्णांक गुणांकों वाले हर बहुपद f(x₁, …, x₈₆) के लिए तय करे कि f = 0 का भिन्नों में हल है या नहीं।

उपपत्ति पूर्णांकों के लिए उनके अपने 10-अज्ञात परिणाम को OpenAI प्रीप्रिंट की मशीनरी में डालती है। एक नियत दीर्घवृत्तीय वक्र (elliptic curve) पर दस बिंदु — यहाँ a + b√2 रूप की संख्याओं पर y² = x³ − d₀²x, जिसमें d₀ = 75 − 53√2 — दस पूर्णांकों को कूटबद्ध करते हैं। ऊँचाई आकलन से पहचाने गए विशेष अभाज्य समीकरण को यह जाँचने देते हैं कि इनपुट बहुपद उन दस संख्याओं पर शून्य होता है या नहीं। “पहरेदारों” (guards) की एक सीमित सूची बचे हुए झूठे हलों को ख़ारिज करती है। पूर्णांक हलों की एक सीधी खोज के साथ-साथ चलाने पर, यह भिन्नों के लिए किसी भी ओरेकल (oracle) को पूर्णांकों के लिए एक निर्णय-प्रक्रिया में बदल देता है — जो मौजूद नहीं हो सकती।

अज्ञातों की बचत

42 पृष्ठों का अधिकांश हिस्सा किफ़ायत पर ख़र्च होता है। सुन पाँच रणनीतियाँ गिनाते हैं। निर्देशांकों का एक परिवर्तन ऊँचाई आकलन के पाँच “संपर्कों” को परिमित बिंदुओं पर ले जाता है। एक अकेला “ढाल” (slope) चर एक साथ इक्कीस जाँचों के काम आता है। वक्र पर ग्यारह बिंदुओं का एक साझा समूह कई अलग-अलग समूहों की जगह लेता है — जिसके लिए एक-दूसरे में बैठने वाले अभाज्यों के पूरे परिवार बनाने पड़ते हैं, जिनमें अन्य चीज़ों के साथ एक सामान्यीकृत चीनी शेषफल प्रमेय और अभाज्यों में बहुपद पैटर्न पर ताओ (Tao) और ज़ीग्लर (Ziegler) के परिणाम काम आते हैं। जाँचों को इस तरह पुनर्गठित किया जाता है कि 33 शर्तें 42 की जगह ले लें। और अंत में, हर बचा हुआ बीजीय चुनाव और हर “यह शून्य नहीं होना चाहिए” शर्त एक अंतिम चर में समेट दी जाती है।

शोधपत्र में लिखी गई गिनती:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— वक्र के 21 बिंदुओं में से हर एक के लिए दो निर्देशांक, एक साझा ढाल, 21 जाँचों में से हर एक के लिए दो सहायक अज्ञात, और एक आख़िरी चर जो बाक़ी सब सोख लेता है।

अंतिम शब्द नहीं

सुन स्पष्ट कहते हैं कि 86 “इस रचना द्वारा दी गई एक ऊपरी सीमा” है, यह दावा नहीं कि कम अज्ञातों से काम नहीं चलेगा। पूर्णांकों पर यह आँकड़ा 11 से 10 पर आया; भिन्नों पर दौड़ अभी शुरू ही हुई है।

संदर्भों के अनुसार, यह परिणाम उस हालिया काम पर भी टिका है जो सहकर्मी समीक्षा से नहीं गुज़रा है: अक्टूबर की शुरुआत का OpenAI प्रीप्रिंट और सुन का अपना 10-अज्ञात वाला शोधपत्र, जो इसी साल arXiv पर डाला गया। सुन का यह शोधपत्र भी एक प्रीप्रिंट है। संख्या-सिद्धांत के इसके 42 पृष्ठ — छलनियाँ, अभाज्य पैटर्न और दीर्घवृत्तीय वक्र — अब दूसरे गणितज्ञों द्वारा जाँचे जाएँगे।