HILBERTS ZEHNTES PROBLEM FÜR BRÜCHE: 86 UNBEKANNTE GENÜGEN

Hilberts zehntes Problem, 1900 gestellt, verlangt einen Algorithmus, der eine beliebige Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, P(x₁, …, xₙ) = 0, entgegennimmt und entscheidet, ob sie eine Lösung in ganzen Zahlen hat. 1970 bewies Matijassewitsch, aufbauend auf Arbeiten von Davis, Putnam und Robinson aus dem Jahr 1961, dass es einen solchen Algorithmus nicht gibt. Das Problem ist unentscheidbar.

Daraufhin begannen Mathematiker zu zählen. Wie viele Unbekannte braucht eine Gleichung, damit die Frage unentscheidbar wird? Zhi-Wei Sun von der Universität Nanjing hatte gezeigt, dass für ganze Zahlen 11 genügen, und senkte die Zahl kürzlich auf 10.

Dieselbe Frage, für Brüche

Stellen wir die Frage stattdessen für rationale Zahlen – Brüche. Der klassische Weg würde über die ganzen Zahlen führen: Könnte man die ganzen Zahlen unter den rationalen mit einer Polynomgleichung herausgreifen, würde sich Matijassewitschs Satz übertragen. Die Arbeit zählt die Meilensteine auf. Robinson gab 1949 eine logische Definition der ganzen Zahlen innerhalb der rationalen an, die Poonen 2009 vereinfachte. Koenigsmann zeigte 2016, dass sich die nicht ganzen Zahlen durch eine solche Gleichung beschreiben lassen, und spätere Arbeiten senkten die dafür nötige Zahl der Unbekannten auf 10 (Daans, 2024), dann auf 7 (Sun).

Dann, so die Arbeit, „hat OpenAI vor ganz Kurzem einen Preprint veröffentlicht“, der beweist, dass Hilberts zehntes Problem über den rationalen Zahlen unentscheidbar ist. Dieser Preprint, datiert auf den 6. Oktober 2026 und in einem GitHub-Repository von OpenAI bereitgestellt, stützt sich auf das, was Sun eine „Höhenabschätzung mit fünf Kontakten“ nennt, und auf eine Konstruktion, die „ungerade Pole“ ausschließt. Wie er entstanden ist, wird in Suns Arbeit nicht beschrieben.

Satz 1.1

Suns Beitrag ist eine Zahl. Satz 1.1: HTP₈₆(ℚ) ist unentscheidbar. In Worten: Es gibt keinen Algorithmus, der für jedes Polynom f(x₁, …, x₈₆) mit ganzzahligen Koeffizienten entscheidet, ob f = 0 eine Lösung in Brüchen hat.

Der Beweis speist sein eigenes Ergebnis mit 10 Unbekannten für ganze Zahlen in die Maschinerie des OpenAI-Preprints ein. Zehn Punkte auf einer festen elliptischen Kurve – hier y² = x³ − d₀²x über den Zahlen a + b√2, mit d₀ = 75 − 53√2 – kodieren zehn ganze Zahlen. Spezielle Primzahlen, die mithilfe der Höhenabschätzung aufgespürt werden, erlauben es der Gleichung zu prüfen, ob das Eingabepolynom an diesen zehn Zahlen verschwindet. Eine endliche Liste von „Wächtern“ schließt die verbleibenden Scheinlösungen aus. Parallel zu einer schlichten Suche nach ganzzahligen Lösungen ausgeführt, verwandelt das jedes Orakel für Brüche in ein Entscheidungsverfahren für ganze Zahlen – das es nicht geben kann.

Unbekannte einsparen

Der Großteil der 42 Seiten dient der Sparsamkeit. Sun nennt fünf Strategien. Ein Koordinatenwechsel verlegt die fünf „Kontakte“ der Höhenabschätzung an endliche Punkte. Eine einzige „Steigungs“-Variable bedient einundzwanzig Prüfungen auf einmal. Eine gemeinsame Gruppe von elf Punkten auf der Kurve ersetzt viele getrennte – was erfordert, ganze Familien zueinander passender Primzahlen zu konstruieren, unter anderem mit einem verallgemeinerten chinesischen Restsatz und Ergebnissen von Tao und Ziegler über polynomiale Muster in den Primzahlen. Die Prüfungen werden so umorganisiert, dass 33 Bedingungen an die Stelle von 42 treten. Und am Ende werden jede verbleibende algebraische Wahl und jede Bedingung der Art „dies darf nicht null sein“ in eine einzige letzte Variable gepackt.

Die Zählung, wie sie in der Arbeit ausgeschrieben ist:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

– zwei Koordinaten für jeden der 21 Punkte auf der Kurve, eine gemeinsame Steigung, zwei Hilfsunbekannte für jede der 21 Prüfungen und eine letzte Variable, die den Rest aufnimmt.

Nicht das letzte Wort

Sun stellt klar, dass 86 „eine obere Schranke ist, die diese Konstruktion liefert“, und keine Behauptung, dass weniger Unbekannte scheitern würden. Bei den ganzen Zahlen sank die Zahl von 11 auf 10; bei den Brüchen hat das Rennen gerade erst begonnen.

Das Ergebnis baut laut Literaturverzeichnis zudem auf neueren Arbeiten auf, die noch kein Peer-Review durchlaufen haben: dem OpenAI-Preprint von Anfang Oktober und Suns eigener Arbeit zu 10 Unbekannten, die in diesem Jahr auf arXiv erschien. Auch Suns Arbeit ist ein Preprint. Ihre 42 Seiten Zahlentheorie – Siebe, Primzahlmuster und elliptische Kurven – werden nun von anderen Mathematikern geprüft.