பின்னங்களில் ஹில்பர்ட்டின் பத்தாவது புதிர்: 86 தெரியாதவை போதும்

1900-இல் முன்வைக்கப்பட்ட ஹில்பர்ட்டின் பத்தாவது புதிர், முழு எண் குணகங்கள் கொண்ட எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டையும், P(x₁, …, xₙ) = 0, எடுத்து, அதற்கு முழு எண்களில் தீர்வு உண்டா என்று முடிவு செய்யும் ஓர் அல்காரிதத்தைக் கேட்கிறது. 1970-இல், 1961-இன் Davis, Putnam, Robinson ஆகியோரின் ஆய்வின் மீது கட்டி, அப்படி ஓர் அல்காரிதம் இல்லை என்று Matiyasevich நிரூபித்தார். இந்தப் புதிர் தீர்மானிக்க இயலாதது (undecidable).

பிறகு கணிதவியலாளர்கள் எண்ணத் தொடங்கினர். கேள்வி தீர்மானிக்க இயலாததாக மாறுவதற்கு ஒரு சமன்பாட்டுக்கு எத்தனை தெரியாதவைகள் வேண்டும்? நான்ஜிங் பல்கலைக்கழகத்தின் Zhi-Wei Sun, முழு எண்களுக்கு 11 போதும் என்று காட்டியிருந்தார்; சமீபத்தில் அதை 10-க்குக் குறைத்தார்.

அதே கேள்வி, பின்னங்களுக்கு

இப்போது அதே கேள்வியை விகிதமுறு எண்களுக்கு — பின்னங்களுக்கு — கேளுங்கள். பாரம்பரியப் பாதை முழு எண்கள் வழியே செல்லும்: விகிதமுறு எண்களுக்குள் முழு எண்களை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டால் தனிமைப்படுத்த முடிந்தால், Matiyasevich-இன் தேற்றம் இங்கும் பொருந்தும். கட்டுரை மைல்கற்களைப் பட்டியலிடுகிறது. 1949-இல் Robinson விகிதமுறு எண்களுக்குள் முழு எண்களுக்கு ஒரு தர்க்க வரையறையைத் தந்தார்; 2009-இல் Poonen அதை எளிமைப்படுத்தினார். முழு எண் அல்லாதவற்றை அப்படி ஒரு சமன்பாட்டால் விவரிக்க முடியும் என்று 2016-இல் Koenigsmann காட்டினார்; அதற்குத் தேவையான தெரியாதவைகளின் எண்ணிக்கையைப் பிந்தைய ஆய்வுகள் 10 (Daans, 2024), பிறகு 7 (Sun) எனக் குறைத்தன.

பிறகு, கட்டுரை சொல்வதுபோல், “மிகச் சமீபத்தில், OpenAI ஒரு முன்பதிப்பை வெளியிட்டது”; அது விகிதமுறு எண்கள் மீதான ஹில்பர்ட்டின் பத்தாவது புதிர் தீர்மானிக்க இயலாதது என்று நிரூபிக்கிறது. 6 அக்டோபர் 2026 தேதியிட்டு, OpenAI-இன் ஒரு GitHub களஞ்சியத்தில் கிடைக்கச் செய்யப்பட்ட அந்த முன்பதிப்பு, Sun “ஐந்து-தொடுகை உயர மதிப்பீடு” (five-contact height estimate) என்று அழைப்பதையும், “ஒற்றைத் துருவங்களை” (odd poles) விலக்கும் ஒரு கட்டமைப்பையும் சார்ந்துள்ளது. அது எப்படி உருவாக்கப்பட்டது என்பது Sun-இன் கட்டுரையில் விவரிக்கப்படவில்லை.

தேற்றம் 1.1

Sun-இன் பங்களிப்பு ஓர் எண். தேற்றம் 1.1: HTP₈₆(ℚ) தீர்மானிக்க இயலாதது. சொற்களில்: முழு எண் குணகங்கள் கொண்ட ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவை f(x₁, …, x₈₆)-க்கும், f = 0-க்குப் பின்னங்களில் தீர்வு உண்டா என்று முடிவு செய்யும் அல்காரிதம் எதுவும் இல்லை.

நிரூபணம், முழு எண்களுக்கான அவரது சொந்த 10-தெரியாதவை முடிவை OpenAI முன்பதிப்பின் இயந்திரத்துக்குள் செலுத்துகிறது. ஒரு நிலையான நீள்வட்ட வளைவின் மீதுள்ள பத்துப் புள்ளிகள் — இங்கு a + b√2 எண்கள் மீது y² = x³ − d₀²x, d₀ = 75 − 53√2 — பத்து முழு எண்களைக் குறியாக்குகின்றன. உயர மதிப்பீட்டால் கண்டறியப்படும் சிறப்புப் பகா எண்கள், உள்ளீட்டுப் பல்லுறுப்புக்கோவை அந்தப் பத்து எண்களில் பூச்சியமாகிறதா என்று சமன்பாடு சரிபார்க்க உதவுகின்றன. “காவலர்களின்” (guards) ஒரு முடிவுறு பட்டியல் எஞ்சிய பொய்த் தீர்வுகளை விலக்குகிறது. முழு எண் தீர்வுகளுக்கான ஓர் எளிய தேடலுடன் சேர்த்து இயக்கினால், இது பின்னங்களுக்கான எந்த அசரீரியையும் (oracle) முழு எண்களுக்கான ஒரு முடிவு நடைமுறையாக மாற்றுகிறது — அது இருக்கவே முடியாது.

தெரியாதவைகளைச் சிக்கனப்படுத்துதல்

42 பக்கங்களில் பெரும்பகுதி சிக்கனத்துக்கே செல்கிறது. Sun ஐந்து உத்திகளைப் பட்டியலிடுகிறார். ஓர் ஆயத்தொலை மாற்றம், உயர மதிப்பீட்டின் ஐந்து “தொடுகைகளை” முடிவுறு புள்ளிகளுக்கு நகர்த்துகிறது. ஒரே ஒரு “சாய்வு” மாறி ஒரே நேரத்தில் இருபத்தொரு சரிபார்ப்புகளுக்குப் பயன்படுகிறது. வளைவின் மீதுள்ள பதினொரு புள்ளிகளின் ஒரு பொதுக் குழு பல தனிக் குழுக்களின் இடத்தைப் பிடிக்கிறது — இதற்கு, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சீன மீதித் தேற்றம், பகா எண்களில் பல்லுறுப்புக்கோவை அமைப்புகள் குறித்த Tao, Ziegler முடிவுகள் போன்றவற்றைப் பயன்படுத்தி, ஒன்றோடொன்று பொருந்தும் முழுப் பகா எண் குடும்பங்களைக் கட்ட வேண்டும். 42 நிபந்தனைகளுக்குப் பதில் 33 போதும்படி சரிபார்ப்புகள் மறுசீரமைக்கப்படுகின்றன. இறுதியில், எஞ்சிய ஒவ்வொரு இயற்கணிதத் தேர்வும் ஒவ்வொரு “இது பூச்சியமாகக் கூடாது” நிபந்தனையும் ஒரே இறுதி மாறிக்குள் மடிக்கப்படுகின்றன.

கட்டுரையில் எழுதப்பட்டுள்ளபடி எண்ணிக்கை:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— வளைவின் மீதுள்ள 21 புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் இரண்டு ஆயத்தொலைகள், ஒரு பொதுச் சாய்வு, 21 சரிபார்ப்புகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் இரண்டு உதவித் தெரியாதவைகள், மீதியை உள்வாங்கும் ஒரு கடைசி மாறி.

இறுதி வார்த்தை அல்ல

86 என்பது “இந்தக் கட்டமைப்பு வழங்கும் ஒரு மேல் எல்லை” என்றும், குறைவான தெரியாதவைகள் தோற்கும் என்ற கூற்று அல்ல என்றும் Sun வெளிப்படையாகச் சொல்கிறார். முழு எண்களில் எண்ணிக்கை 11-இலிருந்து 10 ஆனது; பின்னங்களில் போட்டி இப்போதுதான் தொடங்கியுள்ளது.

மேற்கோள்களின்படி, இந்த முடிவு இன்னும் சக மதிப்பாய்வுக்கு உட்படாத சமீபத்திய ஆய்வுகளின் மீதும் அமர்ந்துள்ளது: அக்டோபர் தொடக்கத்தின் OpenAI முன்பதிப்பு, இந்த ஆண்டு arXiv-இல் வெளியிடப்பட்ட Sun-இன் சொந்த 10-தெரியாதவை கட்டுரை. Sun-இன் கட்டுரையும் ஒரு முன்பதிப்புதான். அதன் 42 பக்க எண் கோட்பாடு — சல்லடைகள், பகா எண் அமைப்புகள், நீள்வட்ட வளைவுகள் — இனி பிற கணிதவியலாளர்களால் சரிபார்க்கப்படும்.