KESİRLERDE HİLBERT'İN ONUNCU PROBLEMİ: 86 BİLİNMEYEN YETİYOR

1900’de ortaya atılan Hilbert’in onuncu problemi, tam sayı katsayılı herhangi bir polinom denklemini, P(x₁, …, xₙ) = 0, alıp onun tam sayılarda bir çözümü olup olmadığına karar veren bir algoritma ister. 1970’te Matiyasevich, Davis, Putnam ve Robinson’ın 1961 tarihli çalışmasının üzerine inşa ederek böyle bir algoritmanın var olmadığını kanıtladı. Problem karar verilemezdir (undecidable).

Matematikçiler bunun üzerine saymaya başladı. Sorunun karar verilemez hâle gelmesi için bir denklemin kaç bilinmeyene ihtiyacı var? Nanjing Üniversitesi’nden Zhi-Wei Sun, tam sayılar için 11’in yettiğini göstermişti ve yakın zamanda bunu 10’a indirdi.

Aynı soru, kesirler için

Soruyu bunun yerine rasyonel sayılar — kesirler — için sorun. Klasik yol tam sayılardan geçerdi: rasyoneller arasından tam sayıları bir polinom denklemiyle ayırt edebilseydiniz, Matiyasevich teoremi buraya da taşınırdı. Makale kilometre taşlarını sıralıyor. Robinson 1949’da tam sayıların rasyoneller içinde mantıksal bir tanımını verdi; Poonen bunu 2009’da sadeleştirdi. Koenigsmann 2016’da tam olmayan sayıların böyle bir denklemle betimlenebileceğini gösterdi; sonraki çalışmalar bunun için gereken bilinmeyen sayısını 10’a (Daans, 2024), ardından 7’ye (Sun) indirdi.

Sonra, makalenin deyişiyle, “çok yakın zamanda OpenAI bir ön baskı yayımladı” ve rasyoneller üzerinde Hilbert’in onuncu probleminin karar verilemez olduğunu kanıtladı. 6 Ekim 2026 tarihli ve OpenAI’ın bir GitHub deposunda erişime açılan bu ön baskı, Sun’ın “beş temaslı yükseklik kestirimi” (five-contact height estimate) dediği bir şeye ve “tek kutupları” (odd poles) dışlayan bir yapıya dayanıyor. Nasıl üretildiği Sun’ın makalesinde anlatılmıyor.

Teorem 1.1

Sun’ın katkısı bir sayı. Teorem 1.1: HTP₈₆(ℚ) karar verilemezdir. Sözcüklerle: tam sayı katsayılı her f(x₁, …, x₈₆) polinomu için f = 0’ın kesirlerde bir çözümü olup olmadığına karar veren bir algoritma yoktur.

Kanıt, tam sayılar için kendi 10 bilinmeyenli sonucunu OpenAI ön baskısının mekanizmasına besliyor. Sabit bir eliptik eğri üzerindeki on nokta — burada a + b√2 sayıları üzerinde, d₀ = 75 − 53√2 olmak üzere y² = x³ − d₀²x — on tam sayıyı kodluyor. Yükseklik kestirimiyle saptanan özel asallar, denklemin, girdi polinomunun bu on sayıda sıfır olup olmadığını denetlemesini sağlıyor. Sonlu bir “bekçiler” (guards) listesi geriye kalan sahte çözümleri dışlıyor. Tam sayı çözümleri için basit bir aramayla yan yana çalıştırıldığında bu, kesirler için herhangi bir kâhini (oracle) tam sayılar için bir karar yordamına dönüştürüyor — ki böyle bir yordam var olamaz.

Bilinmeyenlerden tasarruf

42 sayfanın çoğu tasarrufa ayrılmış. Sun beş strateji sıralıyor. Bir koordinat değişikliği, yükseklik kestiriminin beş “temasını” sonlu noktalara taşıyor. Tek bir “eğim” değişkeni aynı anda yirmi bir denetime hizmet ediyor. Eğri üzerindeki on bir noktadan oluşan ortak tek bir grup birçok ayrı grubun yerini alıyor — bu da, diğerlerinin yanı sıra genelleştirilmiş bir Çin kalan teoremi ve Tao ile Ziegler’in asallardaki polinom örüntülerine dair sonuçlarını kullanarak, birbirine uyan bütün asal aileleri kurmayı gerektiriyor. Denetimler, 42 yerine 33 koşul yetecek biçimde yeniden düzenleniyor. Ve sonunda, geriye kalan her cebirsel seçim ve her “bu sıfır olmamalı” koşulu tek bir son değişkene katlanıyor.

Makalede açıkça yazıldığı biçimiyle sayım:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— eğri üzerindeki 21 noktanın her biri için iki koordinat, bir ortak eğim, 21 denetimin her biri için iki yardımcı bilinmeyen ve geri kalanı soğuran bir son değişken.

Son söz değil

Sun, 86’nın “bu yapının sağladığı bir üst sınır” olduğunu, daha az bilinmeyenin başarısız olacağı iddiası olmadığını açıkça belirtiyor. Tam sayılarda rakam 11’den 10’a indi; kesirlerde ise yarış daha yeni başladı.

Sonuç, kaynakçaya göre, henüz hakem değerlendirmesinden geçmemiş yakın tarihli çalışmaların da üzerine oturuyor: Ekim başındaki OpenAI ön baskısı ve Sun’ın bu yıl arXiv’e yüklenen kendi 10 bilinmeyenli makalesi. Sun’ın makalesi de bir ön baskı. Sayılar kuramına ilişkin 42 sayfası — elekler, asal örüntüleri ve eliptik eğriler — şimdi başka matematikçiler tarafından denetlenecek.