ভগ্নাংশে হিলবার্টের দশম সমস্যা: 86টি অজানাই যথেষ্ট

1900 সালে উত্থাপিত হিলবার্টের দশম সমস্যা এমন একটি অ্যালগরিদম চায়, যা পূর্ণসংখ্যা সহগযুক্ত যেকোনো বহুপদী সমীকরণ P(x₁, …, xₙ) = 0 নিয়ে বলে দেবে তার পূর্ণসংখ্যায় সমাধান আছে কি না। 1970 সালে মাতিয়াসেভিচ (Matiyasevich), 1961 সালের ডেভিস (Davis), পুটনাম (Putnam) ও রবিনসনের (Robinson) কাজের ওপর ভিত্তি করে, প্রমাণ করেন যে এমন কোনো অ্যালগরিদম নেই। সমস্যাটি অনির্ণেয় (undecidable)।

তারপর গণিতবিদেরা গুনতে শুরু করলেন। প্রশ্নটি অনির্ণেয় হতে একটি সমীকরণে কতগুলো অজানা লাগে? নানজিং বিশ্ববিদ্যালয়ের ঝি-ওয়েই সুন (Zhi-Wei Sun) দেখিয়েছিলেন যে পূর্ণসংখ্যার জন্য 11টিই যথেষ্ট, এবং সম্প্রতি সংখ্যাটি নামিয়ে এনেছেন 10-এ।

একই প্রশ্ন, ভগ্নাংশের জন্য

এবার প্রশ্নটি করুন মূলদ সংখ্যার — অর্থাৎ ভগ্নাংশের — জন্য। প্রথাগত পথ যেত পূর্ণসংখ্যার মধ্য দিয়ে: যদি একটি বহুপদী সমীকরণ দিয়ে মূলদ সংখ্যার মধ্যে পূর্ণসংখ্যাগুলোকে আলাদা করে চেনা যেত, তবে মাতিয়াসেভিচের উপপাদ্য সেখানেও খাটত। গবেষণাপত্রটি মাইলফলকগুলো তালিকাভুক্ত করে। রবিনসন 1949 সালে মূলদ সংখ্যার ভেতরে পূর্ণসংখ্যার একটি যৌক্তিক সংজ্ঞা দেন, যা 2009 সালে পুনেন (Poonen) সরল করেন। কোয়েনিগসমান (Koenigsmann) 2016 সালে দেখান যে অ-পূর্ণসংখ্যাগুলোকে এমন একটি সমীকরণ দিয়ে বর্ণনা করা যায়, এবং পরবর্তী কাজ এর জন্য প্রয়োজনীয় অজানার সংখ্যা কমিয়ে আনে 10-এ (ডান্স/Daans, 2024), তারপর 7-এ (সুন)।

তারপর, গবেষণাপত্র বলছে, “খুব সম্প্রতি OpenAI একটি প্রিপ্রিন্ট প্রকাশ করেছে”, যা প্রমাণ করে যে মূলদ সংখ্যার ওপর হিলবার্টের দশম সমস্যা অনির্ণেয়। 6 অক্টোবর 2026 তারিখের সেই প্রিপ্রিন্ট, যা OpenAI-এর একটি GitHub রিপোজিটরিতে পাওয়া যায়, নির্ভর করে সুন যাকে বলেন “পাঁচ-স্পর্শ উচ্চতা আনুমানিক” (five-contact height estimate) এবং এমন একটি নির্মাণের ওপর যা “বিজোড় মেরু” (odd poles) বাদ দেয়। এটি কীভাবে তৈরি হয়েছিল, সুনের গবেষণাপত্রে তা বর্ণিত নেই।

উপপাদ্য 1.1

সুনের অবদান একটি সংখ্যা। উপপাদ্য 1.1: HTP₈₆(ℚ) অনির্ণেয়। কথায়: এমন কোনো অ্যালগরিদম নেই যা পূর্ণসংখ্যা সহগযুক্ত প্রতিটি বহুপদী f(x₁, …, x₈₆)-এর জন্য বলে দেবে f = 0-এর ভগ্নাংশে সমাধান আছে কি না।

প্রমাণটি পূর্ণসংখ্যার জন্য তাঁর নিজের 10-অজানার ফলাফলকে OpenAI প্রিপ্রিন্টের যন্ত্রব্যবস্থায় ঢুকিয়ে দেয়। একটি নির্দিষ্ট উপবৃত্তীয় বক্ররেখার (elliptic curve) ওপর দশটি বিন্দু — এখানে a + b√2 আকারের সংখ্যার ওপর y² = x³ − d₀²x, যেখানে d₀ = 75 − 53√2 — দশটি পূর্ণসংখ্যাকে সংকেতবদ্ধ করে। উচ্চতা আনুমানিক দিয়ে শনাক্ত বিশেষ মৌলিক সংখ্যাগুলো সমীকরণটিকে যাচাই করতে দেয় যে ইনপুট বহুপদীটি সেই দশটি সংখ্যায় শূন্য হয় কি না। “প্রহরীদের” (guards) একটি সসীম তালিকা অবশিষ্ট মিথ্যা সমাধানগুলো বাতিল করে। পূর্ণসংখ্যা সমাধানের একটি সাদামাটা অনুসন্ধানের পাশাপাশি চালালে, এটি ভগ্নাংশের জন্য যেকোনো ওরাকলকে (oracle) পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি নির্ণয়-পদ্ধতিতে পরিণত করে — যা থাকতে পারে না।

অজানা বাঁচানো

42 পৃষ্ঠার বেশিরভাগই খরচ হয় মিতব্যয়িতায়। সুন পাঁচটি কৌশল তালিকাভুক্ত করেন। স্থানাঙ্কের একটি পরিবর্তন উচ্চতা আনুমানিকের পাঁচটি “স্পর্শ”-কে সসীম বিন্দুতে সরিয়ে আনে। একটিমাত্র “নতি” (slope) চলরাশি একসঙ্গে একুশটি যাচাইয়ের কাজ করে। বক্ররেখার ওপর এগারোটি বিন্দুর একটি ভাগ করা দল অনেকগুলো আলাদা দলের জায়গা নেয় — যার জন্য পরস্পরের সঙ্গে খাপ খায় এমন মৌলিক সংখ্যার পুরো পরিবার তৈরি করতে হয়, অন্যান্যের মধ্যে একটি সাধারণীকৃত চৈনিক ভাগশেষ উপপাদ্য এবং মৌলিক সংখ্যায় বহুপদী প্যাটার্ন নিয়ে টাও (Tao) ও জিগলারের (Ziegler) ফলাফল ব্যবহার করে। যাচাইগুলো এমনভাবে পুনর্বিন্যস্ত করা হয় যে 33টি শর্ত 42টির জায়গা নেয়। আর শেষে, প্রতিটি অবশিষ্ট বীজগাণিতিক পছন্দ এবং প্রতিটি “এটি শূন্য হওয়া চলবে না” শর্ত ভাঁজ করে একটি শেষ চলরাশিতে ঢোকানো হয়।

গবেষণাপত্রে লেখা গণনাটি:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— বক্ররেখার 21টি বিন্দুর প্রতিটির জন্য দুটি স্থানাঙ্ক, একটি ভাগ করা নতি, 21টি যাচাইয়ের প্রতিটির জন্য দুটি সহায়ক অজানা, এবং একটি শেষ চলরাশি যা বাকি সব শুষে নেয়।

শেষ কথা নয়

সুন স্পষ্ট বলেন যে 86 হলো “এই নির্মাণের দেওয়া একটি ঊর্ধ্বসীমা”, এমন দাবি নয় যে কম অজানায় কাজ হবে না। পূর্ণসংখ্যায় সংখ্যাটি 11 থেকে 10-এ নেমেছে; ভগ্নাংশে দৌড় সবে শুরু হয়েছে।

তথ্যসূত্র অনুযায়ী, ফলাফলটি এমন সাম্প্রতিক কাজের ওপরও দাঁড়িয়ে আছে যা সমকক্ষ-পর্যালোচনার মধ্য দিয়ে যায়নি: অক্টোবরের শুরুর OpenAI প্রিপ্রিন্ট এবং সুনের নিজের 10-অজানার গবেষণাপত্র, যা এ বছর arXiv-এ প্রকাশিত। সুনের এই গবেষণাপত্রটিও একটি প্রিপ্রিন্ট। এর 42 পৃষ্ঠার সংখ্যাতত্ত্ব — ছাঁকনি, মৌলিক সংখ্যার প্যাটার্ন ও উপবৃত্তীয় বক্ররেখা — এখন অন্য গণিতবিদেরা যাচাই করবেন।