భిన్నాలపై హిల్బర్ట్ పదో సమస్య: 86 తెలియని రాశులు చాలు

1900లో ప్రతిపాదించిన హిల్బర్ట్ పదో సమస్య, పూర్ణసంఖ్యా గుణకాలున్న ఏ బహుపది సమీకరణాన్నైనా, P(x₁, …, xₙ) = 0, తీసుకుని దానికి పూర్ణసంఖ్యల్లో పరిష్కారం ఉందో లేదో నిర్ణయించే అల్గారిథమ్‌ను అడుగుతుంది. 1970లో, 1961 నాటి డేవిస్ (Davis), పట్నమ్ (Putnam), రాబిన్సన్ (Robinson) ల పనిపై ఆధారపడి, మాటియాసెవిచ్ (Matiyasevich) అలాంటి అల్గారిథమ్ లేదని నిరూపించాడు. ఈ సమస్య నిర్ణయించలేనిది (undecidable).

అప్పుడు గణిత శాస్త్రవేత్తలు లెక్కించడం మొదలుపెట్టారు. ప్రశ్న నిర్ణయించలేనిదిగా మారడానికి సమీకరణానికి ఎన్ని తెలియని రాశులు కావాలి? నాన్జింగ్ విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన ఝీ-వెయ్ సున్, పూర్ణసంఖ్యలకు 11 చాలని చూపించారు, ఇటీవలే దాన్ని 10 కి తగ్గించారు.

అదే ప్రశ్న, భిన్నాల కోసం

బదులుగా ఈ ప్రశ్నను అకరణీయ సంఖ్యల (rational numbers) — అంటే భిన్నాల — కోసం అడగండి. సంప్రదాయ మార్గం పూర్ణసంఖ్యల గుండా వెళ్తుంది: అకరణీయ సంఖ్యల్లో పూర్ణసంఖ్యలను ఒక బహుపది సమీకరణంతో వేరు చేయగలిగితే, మాటియాసెవిచ్ సిద్ధాంతం అక్కడికీ వర్తిస్తుంది. పత్రం మైలురాళ్లను జాబితా చేస్తుంది. రాబిన్సన్ 1949లో అకరణీయ సంఖ్యల లోపల పూర్ణసంఖ్యలకు తార్కిక నిర్వచనం ఇచ్చాడు, దాన్ని 2009లో పూనెన్ (Poonen) సరళీకరించాడు. పూర్ణసంఖ్యలు కాని వాటిని అలాంటి సమీకరణంతో వర్ణించవచ్చని 2016లో కోనిగ్స్‌మాన్ (Koenigsmann) చూపించాడు, తర్వాతి పరిశోధనలు దానికి కావాల్సిన తెలియని రాశుల సంఖ్యను 10 కి (డాన్స్, Daans, 2024), తర్వాత 7 కి (సున్) తగ్గించాయి.

తర్వాత, పత్రం చెబుతున్నట్లు, “చాలా ఇటీవలే, OpenAI ఒక ప్రీప్రింట్‌ను విడుదల చేసింది”, అకరణీయ సంఖ్యలపై హిల్బర్ట్ పదో సమస్య నిర్ణయించలేనిదని నిరూపిస్తూ. 6 అక్టోబర్ 2026 తేదీతో, OpenAI కి చెందిన ఒక GitHub రిపాజిటరీలో అందుబాటులో ఉంచిన ఆ ప్రీప్రింట్, సున్ “ఐదు-స్పర్శల ఎత్తు అంచనా” (five-contact height estimate) అని పిలిచే దానిపై, “బేసి ధ్రువాలను” (odd poles) మినహాయించే ఒక నిర్మాణంపై ఆధారపడి ఉంది. అది ఎలా తయారైందో సున్ పత్రంలో వివరించలేదు.

సిద్ధాంతం 1.1

సున్ సహకారం ఒక సంఖ్య. సిద్ధాంతం 1.1: HTP₈₆(ℚ) నిర్ణయించలేనిది. మాటల్లో: పూర్ణసంఖ్యా గుణకాలున్న ప్రతి బహుపది f(x₁, …, x₈₆) కీ, f = 0 కి భిన్నాల్లో పరిష్కారం ఉందో లేదో నిర్ణయించే అల్గారిథమ్ ఏదీ లేదు.

నిరూపణ పూర్ణసంఖ్యల కోసం ఆయన సొంత 10-తెలియని-రాశుల ఫలితాన్ని OpenAI ప్రీప్రింట్ యంత్రాంగంలోకి పంపుతుంది. ఒక స్థిర దీర్ఘవృత్తీయ వక్రం (elliptic curve) పై పది బిందువులు — ఇక్కడ a + b√2 రూపంలోని సంఖ్యలపై y² = x³ − d₀²x, d₀ = 75 − 53√2 — పది పూర్ణసంఖ్యలను సంకేతీకరిస్తాయి. ఎత్తు అంచనా ద్వారా గుర్తించిన ప్రత్యేక ప్రధాన సంఖ్యలు, ఇచ్చిన బహుపది ఆ పది సంఖ్యల వద్ద సున్నా అవుతుందో లేదో సమీకరణం తనిఖీ చేయడానికి వీలు కల్పిస్తాయి. “కాపలాదారుల” పరిమిత జాబితా మిగిలిన తప్పుడు పరిష్కారాలను తొలగిస్తుంది. పూర్ణసంఖ్యా పరిష్కారాల కోసం సాధారణ అన్వేషణతో సమాంతరంగా నడిపితే, ఇది భిన్నాల కోసం ఏ నిర్ణయ యంత్రాన్నైనా (oracle) పూర్ణసంఖ్యల కోసం నిర్ణయ ప్రక్రియగా మారుస్తుంది — అది ఉండటం అసాధ్యం.

తెలియని రాశులను ఆదా చేయడం

42 పేజీల్లో అధిక భాగం పొదుపుకే వెళ్తుంది. సున్ ఐదు వ్యూహాలను జాబితా చేస్తారు. నిరూపకాల మార్పు ఎత్తు అంచనాలోని ఐదు “స్పర్శలను” పరిమిత బిందువులకు తరలిస్తుంది. ఒకే “వాలు” చరరాశి ఒకేసారి ఇరవై ఒక్క తనిఖీలకు ఉపయోగపడుతుంది. వక్రంపై పదకొండు బిందువుల ఒకే ఉమ్మడి సమూహం అనేక వేర్వేరు సమూహాల స్థానాన్ని తీసుకుంటుంది — దీనికి ఒకదానికొకటి సరిపోయే ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం కుటుంబాలను నిర్మించాలి, ఇతర సాధనాలతో పాటు సాధారణీకరించిన చైనీస్ శేష సిద్ధాంతాన్ని, ప్రధాన సంఖ్యల్లో బహుపది నమూనాలపై టావో (Tao), జీగ్లర్ (Ziegler) ఫలితాలను ఉపయోగించి. 42 షరతుల స్థానంలో 33 షరతులు సరిపోయేలా తనిఖీలను పునర్వ్యవస్థీకరిస్తారు. చివరగా, మిగిలిన ప్రతి బీజగణిత ఎంపికనూ, ప్రతి “ఇది సున్నా కాకూడదు” షరతునూ ఒకే చివరి చరరాశిలోకి మడిచేస్తారు.

పత్రంలో రాసిన లెక్క:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— వక్రంపై 21 బిందువుల్లో ప్రతిదానికి రెండు నిరూపకాలు, ఒక ఉమ్మడి వాలు, 21 తనిఖీల్లో ప్రతిదానికి రెండు సహాయక తెలియని రాశులు, మిగతాదంతా గ్రహించే ఒక చివరి చరరాశి.

చివరి మాట కాదు

86 “ఈ నిర్మాణం అందించే ఎగువ హద్దు” అని, తక్కువ తెలియని రాశులతో విఫలమవుతుందనే వాదన కాదని సున్ స్పష్టంగా చెబుతారు. పూర్ణసంఖ్యలపై, ఆ సంఖ్య 11 నుంచి 10 కి వచ్చింది; భిన్నాలపై, పోటీ ఇప్పుడే మొదలైంది.

ఉల్లేఖనాల ప్రకారం, ఈ ఫలితం సమీక్షకు వెళ్లని ఇటీవలి పరిశోధనలపై కూడా ఆధారపడి ఉంది: అక్టోబర్ ప్రారంభం నాటి OpenAI ప్రీప్రింట్, ఈ సంవత్సరం arXiv లో పోస్ట్ చేసిన సున్ సొంత 10-తెలియని-రాశుల పత్రం. సున్ పత్రం కూడా ప్రీప్రింటే. దానిలోని 42 పేజీల సంఖ్యా సిద్ధాంతాన్ని — జల్లెడలు, ప్రధాన సంఖ్యల నమూనాలు, దీర్ఘవృత్తీయ వక్రాలు — ఇప్పుడు ఇతర గణిత శాస్త్రవేత్తలు తనిఖీ చేస్తారు.