کسور پر ہلبرٹ کا دسواں مسئلہ: 86 نامعلوم کافی ہیں

ہلبرٹ کا دسواں مسئلہ، جو 1900 میں پیش کیا گیا، ایک ایسا الگورتھم مانگتا ہے جو صحیح عددی سروں والی کوئی بھی کثیر رقمی مساوات، P(x₁, …, xₙ) = 0، لے اور فیصلہ کرے کہ اس کا پورے اعداد میں کوئی حل ہے یا نہیں۔ 1970 میں ماتیاسیوِچ نے، ڈیوس، پٹنم اور رابنسن کے 1961 کے کام کی بنیاد پر، ثابت کیا کہ ایسا کوئی الگورتھم موجود نہیں۔ یہ مسئلہ ناقابلِ فیصلہ (undecidable) ہے۔

پھر ریاضی دانوں نے گنتی شروع کی۔ کسی مساوات کو کتنے نامعلوم درکار ہیں کہ سوال ناقابلِ فیصلہ ہو جائے؟ نانجنگ یونیورسٹی کے ژی-وے سن نے دکھایا تھا کہ پورے اعداد کے لیے 11 کافی ہیں، اور حال ہی میں اسے 10 تک گھٹا دیا۔

یہی سوال، کسور کے لیے

اب یہی سوال ناطق اعداد — یعنی کسور — کے لیے پوچھیں۔ کلاسیکی راستہ پورے اعداد سے ہو کر گزرتا: اگر کسی کثیر رقمی مساوات کے ذریعے ناطق اعداد میں سے صحیح اعداد کو الگ کیا جا سکے تو ماتیاسیوِچ کا مسئلہ ان پر بھی لاگو ہو جائے گا۔ مقالہ سنگِ میل گنواتا ہے۔ رابنسن نے 1949 میں ناطق اعداد کے اندر صحیح اعداد کی ایک منطقی تعریف دی، جسے پونن نے 2009 میں سادہ کیا۔ کوئنگزمان نے 2016 میں دکھایا کہ غیر صحیح اعداد کو ایسی مساوات سے بیان کیا جا سکتا ہے، اور بعد کے کام نے اس کے لیے درکار نامعلوم کی تعداد کو 10 (داآنز، 2024) اور پھر 7 (سن) تک گھٹا دیا۔

پھر، مقالے کے الفاظ میں، “بالکل حال ہی میں OpenAI نے ایک پری پرنٹ جاری کیا” جس نے ثابت کیا کہ ناطق اعداد پر ہلبرٹ کا دسواں مسئلہ ناقابلِ فیصلہ ہے۔ وہ پری پرنٹ، جس پر 6 اکتوبر 2026 کی تاریخ درج ہے اور جو OpenAI کے ایک GitHub ذخیرے پر دستیاب کیا گیا، اس پر ٹکا ہے جسے سن “پانچ رابطوں والا بلندی کا تخمینہ” کہتے ہیں، اور ایک ایسی ساخت پر جو “طاق قطبین” کو خارج کرتی ہے۔ اسے کیسے تیار کیا گیا، یہ سن کے مقالے میں بیان نہیں کیا گیا۔

مسئلہ 1.1

سن کا حصہ ایک عدد ہے۔ مسئلہ 1.1: HTP₈₆(ℚ) ناقابلِ فیصلہ ہے۔ الفاظ میں: کوئی ایسا الگورتھم نہیں جو صحیح عددی سروں والی ہر کثیر رقمی f(x₁, …, x₈₆) کے لیے فیصلہ کر سکے کہ f = 0 کا کسور میں کوئی حل ہے یا نہیں۔

ثبوت پورے اعداد کے لیے ان کے اپنے 10 نامعلوم والے نتیجے کو OpenAI کے پری پرنٹ کی مشینری میں ڈالتا ہے۔ ایک مقررہ بیضوی خم (elliptic curve) پر دس نقاط — یہاں a + b√2 قسم کے اعداد پر y² = x³ − d₀²x، جہاں d₀ = 75 − 53√2 — دس پورے اعداد کی رمز بندی کرتے ہیں۔ خاص مفرد اعداد، جن کی شناخت بلندی کے تخمینے سے ہوتی ہے، مساوات کو یہ جانچنے دیتے ہیں کہ آیا داخل کی گئی کثیر رقمی ان دس اعداد پر صفر ہوتی ہے۔ “محافظوں” کی ایک محدود فہرست باقی رہ جانے والے جھوٹے حلوں کو خارج کرتی ہے۔ پورے عددی حلوں کی ایک سادہ تلاش کے ساتھ ساتھ چلائے جانے پر، یہ کسور کے لیے کسی بھی غیبی جواب دہندہ (oracle) کو پورے اعداد کے لیے فیصلے کے طریقۂ کار میں بدل دیتا ہے — جو موجود نہیں ہو سکتا۔

نامعلوم کی بچت

42 صفحات کا بیشتر حصہ کفایت پر صرف ہوا ہے۔ سن پانچ حکمت عملیاں گنواتے ہیں۔ محددات کی ایک تبدیلی بلندی کے تخمینے کے پانچ “رابطوں” کو محدود نقاط پر منتقل کر دیتی ہے۔ ایک واحد “ڈھلوان” متغیر ایک ساتھ اکیس جانچوں کا کام کرتا ہے۔ خم پر گیارہ نقاط کا ایک مشترکہ گروہ بہت سے الگ الگ گروہوں کی جگہ لے لیتا ہے — جس کے لیے مفرد اعداد کے ایسے پورے خاندان بنانے پڑتے ہیں جو آپس میں موزوں بیٹھیں، اور اس میں دیگر چیزوں کے علاوہ ایک عمومی چینی باقی ماندہ مسئلہ (Chinese remainder theorem) اور مفرد اعداد میں کثیر رقمی نمونوں پر ٹاؤ اور زیگلر کے نتائج استعمال ہوتے ہیں۔ جانچوں کو یوں نئے سرے سے ترتیب دیا جاتا ہے کہ 42 کی جگہ 33 شرائط رہ جائیں۔ اور آخر میں ہر بچا ہوا الجبری انتخاب اور ہر “یہ صفر نہیں ہونا چاہیے” والی شرط ایک آخری متغیر میں سمو دی جاتی ہے۔

گنتی، جیسے مقالے میں لکھی گئی ہے:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— خم پر 21 نقاط میں سے ہر ایک کے دو محدد، ایک مشترکہ ڈھلوان، 21 جانچوں میں سے ہر ایک کے لیے دو مددگار نامعلوم، اور ایک آخری متغیر جو باقی سب کچھ جذب کر لیتا ہے۔

حرفِ آخر نہیں

سن صاف کہتے ہیں کہ 86 “اس ساخت کی فراہم کردہ ایک بالائی حد” ہے، یہ دعویٰ نہیں کہ کم نامعلوم ناکام رہیں گے۔ پورے اعداد پر یہ عدد 11 سے 10 ہوا؛ کسور پر دوڑ ابھی شروع ہوئی ہے۔

حوالہ جات کے مطابق یہ نتیجہ ایسے حالیہ کام پر بھی کھڑا ہے جس کا ہم مرتبہ جائزہ نہیں ہوا: اکتوبر کے آغاز کا OpenAI پری پرنٹ اور سن کا اپنا 10 نامعلوم والا مقالہ، جو اسی سال arXiv پر شائع ہوا۔ سن کا مقالہ بھی ایک پری پرنٹ ہے۔ اس کے نظریۂ اعداد کے 42 صفحات — چھلنیاں، مفرد اعداد کے نمونے اور بیضوی خم — اب دوسرے ریاضی دان جانچیں گے۔