MASALAH KESEPULUH HILBERT PADA PECAHAN: 86 VARIABEL SUDAH CUKUP

Masalah kesepuluh Hilbert, yang diajukan pada 1900, meminta sebuah algoritma yang menerima persamaan polinomial apa pun dengan koefisien bilangan bulat, P(x₁, …, xₙ) = 0, lalu memutuskan apakah persamaan itu punya solusi berupa bilangan bulat. Pada 1970, Matiyasevich, berlandaskan karya Davis, Putnam, dan Robinson dari 1961, membuktikan bahwa algoritma seperti itu tidak ada. Masalah ini tak terputuskan (undecidable).

Para matematikawan lalu mulai menghitung. Berapa banyak variabel yang diperlukan sebuah persamaan sebelum pertanyaannya menjadi tak terputuskan? Zhi-Wei Sun dari Universitas Nanjing pernah menunjukkan bahwa 11 sudah cukup untuk bilangan bulat, dan baru-baru ini menurunkannya menjadi 10.

Pertanyaan yang sama, untuk pecahan

Ajukan pertanyaan itu untuk bilangan rasional — pecahan. Jalur klasiknya melewati bilangan bulat: jika bilangan bulat bisa dipilah dari bilangan rasional dengan sebuah persamaan polinomial, teorema Matiyasevich akan berlaku juga. Makalah ini mencantumkan tonggak-tonggaknya. Robinson memberikan definisi logis bilangan bulat di dalam bilangan rasional pada 1949, yang disederhanakan oleh Poonen pada 2009. Koenigsmann menunjukkan pada 2016 bahwa bilangan yang bukan bulat dapat dideskripsikan dengan persamaan semacam itu, dan karya selanjutnya memangkas jumlah variabel yang diperlukan untuk itu menjadi 10 (Daans, 2024), lalu 7 (Sun).

Kemudian, kata makalah itu, “baru-baru ini, OpenAI merilis sebuah pracetak” yang membuktikan bahwa masalah kesepuluh Hilbert atas bilangan rasional tak terputuskan. Pracetak itu, bertanggal 6 Oktober 2026 dan tersedia di repositori GitHub milik OpenAI, bertumpu pada apa yang Sun sebut “estimasi tinggi lima kontak” dan sebuah konstruksi yang menyingkirkan “kutub ganjil”. Cara pracetak itu dihasilkan tidak dijelaskan dalam makalah Sun.

Teorema 1.1

Sumbangan Sun adalah sebuah angka. Teorema 1.1: HTP₈₆(ℚ) tak terputuskan. Dengan kata lain: tidak ada algoritma yang dapat memutuskan, untuk setiap polinomial f(x₁, …, x₈₆) dengan koefisien bilangan bulat, apakah f = 0 punya solusi berupa pecahan.

Pembuktiannya memasukkan hasil 10 variabelnya sendiri untuk bilangan bulat ke dalam mesin pracetak OpenAI. Sepuluh titik pada sebuah kurva eliptik tetap — di sini y² = x³ − d₀²x atas bilangan berbentuk a + b√2, dengan d₀ = 75 − 53√2 — menyandikan sepuluh bilangan bulat. Bilangan prima khusus, yang dideteksi lewat estimasi tinggi, memungkinkan persamaan memeriksa apakah polinomial masukan bernilai nol pada sepuluh bilangan itu. Daftar terbatas “penjaga” menyingkirkan solusi palsu yang tersisa. Dijalankan berdampingan dengan pencarian biasa atas solusi bilangan bulat, cara ini mengubah orakel apa pun untuk pecahan menjadi prosedur keputusan untuk bilangan bulat — yang tidak mungkin ada.

Menghemat variabel

Sebagian besar dari 42 halaman itu dicurahkan untuk penghematan. Sun mencantumkan lima strategi. Perubahan koordinat memindahkan lima “kontak” estimasi tinggi ke titik-titik berhingga. Satu variabel “kemiringan” melayani dua puluh satu pemeriksaan sekaligus. Satu kelompok bersama berisi sebelas titik pada kurva menggantikan banyak kelompok terpisah — yang mengharuskan penyusunan keluarga bilangan prima yang saling cocok, antara lain dengan teorema sisa Tiongkok yang diperumum serta hasil Tao dan Ziegler tentang pola polinomial dalam bilangan prima. Pemeriksaan disusun ulang sehingga 33 syarat menggantikan 42. Dan pada akhirnya, setiap pilihan aljabar yang tersisa dan setiap syarat “ini tidak boleh nol” dilebur ke dalam satu variabel terakhir.

Hitungannya, sebagaimana dituliskan dalam makalah:

2(10 + 11) + 1 + 2 · 21 + 1 = 86

— dua koordinat untuk masing-masing dari 21 titik pada kurva, satu kemiringan bersama, dua variabel bantu untuk masing-masing dari 21 pemeriksaan, dan satu variabel terakhir yang menyerap sisanya.

Bukan kata terakhir

Sun menegaskan bahwa 86 adalah “batas atas yang diberikan oleh konstruksi ini”, bukan klaim bahwa jumlah variabel yang lebih sedikit akan gagal. Untuk bilangan bulat, angkanya turun dari 11 menjadi 10; untuk pecahan, perlombaannya baru saja dimulai.

Hasil ini juga bertumpu pada karya-karya terbaru yang belum melalui telaah sejawat, menurut daftar rujukannya: pracetak OpenAI dari awal Oktober dan makalah Sun sendiri tentang 10 variabel, yang diunggah ke arXiv tahun ini. Makalah Sun pun masih berupa pracetak. Ke-42 halaman teori bilangannya — saringan, pola bilangan prima, dan kurva eliptik — kini akan diperiksa oleh matematikawan lain.