كم تدوم لعبة أونو؟

يكتب براغيان غاور أن أونو من أكثر ألعاب الورق انتشارًا، وأن قواعدها بسيطة بما يكفي لتحليلها. وقد درست أعمال سابقة مدى صعوبة الحكم على ما إذا كان يمكن لعب يدٍ ما حتى آخرها. أما غاور فيطرح سؤالًا أكثر واقعية: كم دورًا تستغرق الجولة — في حدها الأدنى، وحدها الأقصى، وفي المتوسط — لـN لاعبين يبدأ كلٌّ منهم بـM ورقة؟

تضم الرزمة 108 أوراق: في كل لون من الألوان الأربعة، ورقة 0 واحدة، وورقتان لكل رقم من 1 إلى 9، وورقتان من كلٍّ من «تخطَّ» و«اعكس» و«اسحب اثنتين»؛ إضافةً إلى أربع أوراق جوكر وأربع أوراق «جوكر اسحب أربعًا». وبموجب القواعد الرسمية، لا يجوز أن يلعب ورقة «الجوكر اسحب أربعًا» إلا من لا يملك أي ورقة من اللون الحالي. ويتبيّن أن هذه القاعدة وحدها هي التي تحدد شكل النهاية كلها.

الأقصر، والأطول، والمعتاد

• الأقصر. مع لاعبَين، تدوم الجولة M دورًا على الأقل: فأوراق «تخطَّ» و«اعكس» و«اسحب اثنتين» كلها تعيد الدور مباشرةً. ومع ثلاثة لاعبين أو أكثر، 2M − 1 على الأقل. ويُظهر بحث حاسوبي دقيق في توزيعات عشوائية أن الأيادي الحقيقية نادرًا ما تتيح ذلك: مع سبع أوراق ولاعبَين، لم يُبلَغ قط الحد الأدنى البالغ 7 أدوار في 4,000 توزيعة.
• الأطول. بموجب القواعد الرسمية، لا حدّ أقصى لطول الجولة، لأن اللاعبين يستطيعون دائمًا السحب بدلًا من اللعب، وتُخلط كومة الأوراق الملقاة من جديد لتصبح رزمة سحب جديدة.
• المعتاد. مع لاعبين يلعبون دائمًا ورقة قانونية عشوائية، انتهت جميع الجولات المحاكاة البالغة 58 مليونًا. ومع سبع أوراق، تدوم الجولة في المتوسط 46.7 دورًا للاعبَين، و50.1 لأربعة، و83.1 لعشرة. وترتيب الجلوس مهم: مع أربعة لاعبين، يفوز اللاعب الأول بـ26.0% من الجولات والأخير بـ24.3%.

قانون حفظ للأيادي العملاقة

تتعلق النتيجة الرئيسية بأيادٍ كبيرة جدًا، باستخدام رزمة مثالية لا تنفد بالنسب نفسها من الأوراق. فكل ورقة «اسحب اثنتين» أو «جوكر اسحب أربعًا» تُلعب تُدخل أوراقًا إضافية إلى اللعب، وتلك الأوراق الإضافية تتضمن مزيدًا من أوراق السحب، وهكذا دواليك. فإذا لُعبت في النهاية كل ورقة امتلكها لاعب في أي وقت، فإن هذا التوازن يحدد المجموع:

T = (27/19) × N M دورًا

ولا يعتمد الثابت 27/19 ≈ 1.421 إلا على حصة أوراق السحب في الرزمة — 8 أوراق «اسحب اثنتين» و4 أوراق «جوكر اسحب أربعًا» من أصل 108. وتقترب منه، ببطء، المحاكاة التي تُجعل فيها ورقة «الجوكر اسحب أربعًا» قانونية في أي وقت.

التكديس

تكسر القاعدة الرسمية هذا القانون. فاليد الكبيرة تحمل دائمًا ورقة ما من اللون الحالي، لذا لا يمكنها أبدًا أن تلعب ورقة «جوكر اسحب أربعًا» بصورة قانونية. فتبقى كل ورقة منها تتلقاها في اليد. وبنهاية المرحلة الرئيسية، يكون لدى كل لاعب مخزون من نحو M/23 ورقة «جوكر اسحب أربعًا». وفي إحدى مباريات لاعبَين جرى تتبّعها، بأيادٍ من 1,000 ورقة، وصل الفائز النهائي إلى 41 ورقة، كلها تقريبًا «جوكر اسحب أربعًا»، مقابل 43 متوقعة.

ثم تأتي نهاية التفريغ. فاللاعب الذي لم يتبقَّ لديه سوى أوراق «جوكر اسحب أربعًا» لا يملك ورقة من أي لون، فتصبح كلها قانونية دفعة واحدة. وكل واحدة منها تُجبر اللاعب التالي على سحب أربع أوراق وتفويت دوره.

• مع عدد زوجي من اللاعبين، ينغلق التفريغ حول الطاولة: يفرّغ مقعدٌ ويتخطى الذي يليه، بينما لا تفعل المقاعد الواقعة بينها سوى جمع الأوراق ولا يأتيها الدور أبدًا. وعندئذ تدوم الجولة (53/46) × N M دورًا — أي نحو 1.152، وهو أقصر مما من دون القاعدة. وتعطي المحاكاة 1.15192 ± 0.00034 للاعبَين.
• مع عدد فردي، لا يمكن للتناوب أن ينغلق. فتستقر المقاعد على نمط يحسبه غاور عدديًا، دون صيغة مغلقة.

طول اللعبة لكل ورقة في حالة الأيادي الكبيرة. الخطوط المتقطعة: ورقة «الجوكر اسحب أربعًا» قانونية دائمًا، قرب 27/19. الخطوط المتصلة: القاعدة الرسمية، تستقر قرب 53/46 مع عدد زوجي من اللاعبين. — الشكل 3، Gaur (2026)، arXiv:2610.14076.

الفوز، لا مجرد الصمود

وضع غاور أيضًا 48 استراتيجية في مواجهة بعضها. ومع لاعبَين، يكون التوازن استراتيجية واحدة: احتفظ بأوراق الجوكر، والعب أوراق الحركة أولًا، وسمِّ اللون الذي تملك منه أكثر، وهاجم بأوراق السحب و«تخطَّ» حين لا يتبقى لدى الخصم سوى ورقتين أو أقل. وهي تفوز بـ62.8% من الجولات أمام اللعب العشوائي. واختيار اللون هو الأهم منفردًا، إذ يرفع نسبة الفوز من 51% إلى 58%.

حدود الورقة واضحة: فنتائج الأيادي الكبيرة تصف رزمة مثالية (في رزمة حقيقية، لا يمكن أن تتجاوز الأيادي مجتمعةً 107 أوراق)، واللاعبون في المحاكاة لا يسحبون طوعًا أبدًا، والاستراتيجيات الـ48 صُمّمت يدويًا. والشيفرة كلها متاحة للعموم. ويذكر المؤلف أن نموذجًا لغويًا كبيرًا ساعد في الصياغة وفي شيفرة المحاكاة، وأن المؤلف تحقق من كل نتيجة.