اونو کی ایک بازی کتنی لمبی ہوتی ہے؟

پرگیان گور لکھتے ہیں کہ اونو سب سے زیادہ کھیلے جانے والے تاش کے کھیلوں میں سے ایک ہے، اور اس کے قواعد اتنے سادہ ہیں کہ ان کا تجزیہ کیا جا سکے۔ پچھلی تحقیق میں یہ دیکھا گیا تھا کہ یہ طے کرنا کتنا مشکل ہے کہ آیا کوئی ہاتھ پورا کھیلا جا سکتا ہے۔ گور ایک زیادہ عملی سوال پوچھتے ہیں: N کھلاڑیوں کے لیے، جن میں سے ہر ایک M پتوں سے شروع کرتا ہے، ایک دور کتنی باریاں لیتا ہے — کم از کم، زیادہ سے زیادہ اور اوسطاً؟

گڈی میں 108 پتے ہوتے ہیں: چاروں رنگوں میں سے ہر ایک میں ایک 0، 1 سے 9 تک ہر نمبر کے دو دو پتے، اور اسکِپ، ریورس اور ڈرا ٹو کے دو دو پتے؛ اس کے علاوہ چار وائلڈ اور چار وائلڈ ڈرا فور۔ سرکاری قواعد کے تحت وائلڈ ڈرا فور صرف وہی کھیل سکتا ہے جس کے پاس موجودہ رنگ کا کوئی پتا نہ ہو۔ پتا چلتا ہے کہ یہی ایک قاعدہ پورے انجام کی شکل طے کرتا ہے۔

سب سے مختصر، سب سے لمبا، عام

• سب سے مختصر۔ دو کھلاڑیوں کے ساتھ ایک دور کم از کم M باریاں چلتا ہے: اسکِپ، ریورس اور ڈرا ٹو سب باری سیدھی واپس دے دیتے ہیں۔ تین یا زیادہ کھلاڑیوں کے ساتھ کم از کم 2M − 1۔ بے ترتیب بانٹوں پر ایک درست کمپیوٹر تلاش دکھاتی ہے کہ حقیقی ہاتھ شاذ ہی اس کی اجازت دیتے ہیں: سات پتوں اور دو کھلاڑیوں کے ساتھ 4,000 بانٹوں میں 7 باریوں کی کم از کم حد کبھی حاصل نہیں ہوئی۔
• سب سے لمبا۔ سرکاری قواعد کے تحت ایک دور کی کوئی زیادہ سے زیادہ لمبائی نہیں، کیونکہ کھلاڑی ہمیشہ کھیلنے کے بجائے پتا اٹھا سکتے ہیں، اور پھینکے گئے پتوں کا ڈھیر پھینٹ کر نئی گڈی بنا لی جاتی ہے۔
• عام۔ ایسے کھلاڑیوں کے ساتھ جو ہمیشہ بے ترتیب طور پر کوئی جائز پتا کھیلتے ہیں، 5 کروڑ 80 لاکھ سمولیٹڈ دور سب ختم ہوئے۔ سات پتوں کے ساتھ ایک دور اوسطاً دو کھلاڑیوں کے لیے 46.7 باریاں، چار کے لیے 50.1 اور دس کے لیے 83.1 باریاں چلتا ہے۔ بیٹھنے کی ترتیب اہم ہے: چار کھلاڑیوں میں پہلا کھلاڑی 26.0% دور جیتتا ہے اور آخری 24.3%۔

بہت بڑے ہاتھوں کے لیے بقا کا قانون

اصل نتیجہ بہت بڑے ہاتھوں سے متعلق ہے، ایک مثالی لامتناہی گڈی کے ساتھ جس میں پتوں کا تناسب وہی ہو۔ ہر کھیلا گیا ڈرا ٹو یا وائلڈ ڈرا فور اضافی پتے کھیل میں لاتا ہے، اور ان اضافی پتوں میں مزید ڈرا پتے ہوتے ہیں، اور یوں ہی سلسلہ چلتا ہے۔ اگر کسی کھلاڑی کے ہاتھ میں کبھی بھی آنے والا ہر پتا آخرکار کھیلا جائے، تو یہ توازن کل تعداد طے کر دیتا ہے:

T = (27/19) × N M باریاں

مستقل 27/19 ≈ 1.421 صرف گڈی میں ڈرا پتوں کے حصے پر منحصر ہے — 108 میں سے 8 ڈرا ٹو اور 4 وائلڈ ڈرا فور۔ جن سمولیشنز میں وائلڈ ڈرا فور کسی بھی وقت جائز ہو، وہ آہستہ آہستہ اس کے قریب پہنچتی ہیں۔

ذخیرہ

سرکاری قاعدہ اس قانون کو توڑ دیتا ہے۔ ایک بڑے ہاتھ میں ہمیشہ موجودہ رنگ کا کوئی نہ کوئی پتا ہوتا ہے، اس لیے وہ کبھی جائز طریقے سے وائلڈ ڈرا فور نہیں کھیل سکتا۔ اسے ملنے والا ہر ایسا پتا ہاتھ ہی میں رہتا ہے۔ مرکزی مرحلے کے اختتام تک ہر کھلاڑی کے پاس تقریباً M/23 وائلڈ ڈرا فور کا ذخیرہ ہوتا ہے۔ 1,000 پتوں کے ہاتھوں والی دو کھلاڑیوں کی ایک بازی میں، جس کا تفصیلی سراغ رکھا گیا، آخرکار جیتنے والا 41 پتوں تک پہنچا، جن میں تقریباً سب وائلڈ ڈرا فور تھے، جبکہ پیش گوئی 43 کی تھی۔

پھر پتے پھینکنے کا آخری مرحلہ آتا ہے۔ جس کھلاڑی کے پاس صرف وائلڈ ڈرا فور بچیں، اس کے پاس کسی رنگ کا کوئی پتا نہیں ہوتا، اس لیے وہ سب ایک ساتھ جائز ہو جاتے ہیں۔ ہر ایک اگلے کھلاڑی کو چار پتے اٹھانے اور ایک باری چھوڑنے پر مجبور کرتا ہے۔

• کھلاڑیوں کی جفت تعداد کے ساتھ پتے پھینکنے کا یہ سلسلہ میز کے گرد بند ہو جاتا ہے: ہر دوسری نشست پتے پھینکتی ہے، جبکہ درمیان کی نشستیں صرف پتے جمع کرتی ہیں اور انہیں کبھی باری نہیں ملتی۔ تب دور (53/46) × N M باریاں چلتا ہے — تقریباً 1.152، یعنی اس قاعدے کے بغیر سے کم۔ سمولیشنز دو کھلاڑیوں کے لیے 1.15192 ± 0.00034 دیتی ہیں۔
• طاق تعداد کے ساتھ یہ باری باری کا سلسلہ بند نہیں ہو پاتا۔ نشستیں ایک ایسے نمونے میں ٹھہر جاتی ہیں جس کا حساب گور عددی طور پر لگاتے ہیں، کسی بند فارمولے کے بغیر۔

بڑے ہاتھوں کے لیے فی پتا کھیل کی لمبائی۔ ٹوٹی لکیریں: وائلڈ ڈرا فور ہمیشہ جائز، 27/19 کے قریب۔ ٹھوس لکیریں: سرکاری قاعدہ، جو جفت تعداد کے کھلاڑیوں کے لیے 53/46 کے قریب ٹھہر جاتا ہے۔ — شکل 3، Gaur (2026)، arXiv:2610.14076۔

جیتنا، صرف ٹکے رہنا نہیں

گور نے 48 حکمتِ عملیوں کو ایک دوسرے کے مقابل بھی آزمایا۔ دو کھلاڑیوں کے ساتھ توازن ایک ہی حکمتِ عملی ہے: وائلڈ پتے سنبھال کر رکھیں، ایکشن پتے پہلے کھیلیں، وہ رنگ بولیں جس کے پتے آپ کے پاس سب سے زیادہ ہوں، اور حملہ کریں — ڈرا پتوں اور اسکِپ سے، جب مخالف کے پاس دو یا اس سے کم پتے رہ جائیں۔ یہ بے ترتیب کھیل کے خلاف 62.8% دور جیتتی ہے۔ اکیلے سب سے زیادہ اہمیت رنگ کے انتخاب کی ہے، جو جیت کی شرح کو 51% سے 58% تک لے جاتا ہے۔

مقالے کی حدود واضح ہیں: بڑے ہاتھوں کے نتائج ایک مثالی گڈی کو بیان کرتے ہیں (اصل گڈی میں تمام ہاتھ مل کر 107 پتوں سے زیادہ نہیں ہو سکتے)، سمولیٹڈ کھلاڑی کبھی اپنی مرضی سے پتا نہیں اٹھاتے، اور 48 حکمتِ عملیاں ہاتھ سے بنائی گئی تھیں۔ تمام کوڈ عوامی ہے۔ مصنف کہتے ہیں کہ ایک بڑے لسانی ماڈل نے عبارت اور سمولیشن کوڈ میں مدد کی، اور مصنف نے ہر نتیجے کی جانچ کی۔