MCHEZO WA UNO HUCHUKUA MUDA GANI?

Uno, anaandika Pragyaan Gaur, ni mojawapo ya michezo ya karata inayochezwa zaidi, na kanuni zake ni rahisi kiasi cha kuweza kuchambuliwa. Kazi za awali zilichunguza jinsi ilivyo vigumu kuamua kama karata za mkononi zinaweza kuchezwa zote hadi mwisho. Gaur anauliza swali la kawaida zaidi: raundi huchukua zamu ngapi — kwa uchache, kwa wingi na kwa wastani — kwa wachezaji N ambao kila mmoja anaanza na karata M?

Kitita kina karata 108: katika kila rangi kati ya nne, 0 moja, mbili za kila namba kutoka 1 hadi 9, na mbili mbili za Skip (ruka), Reverse (geuza) na Draw Two (chukua mbili); pamoja na Wild nne na Wild Draw Four (chukua nne) nne. Chini ya kanuni rasmi, Wild Draw Four inaweza kuchezwa tu na mtu asiye na karata yoyote ya rangi ya sasa. Kanuni hiyo moja inageuka kuunda mwisho mzima wa mchezo.

Fupi zaidi, ndefu zaidi, ya kawaida

• Fupi zaidi. Kwa wachezaji wawili, raundi hudumu angalau zamu M: Skip, Reverse na Draw Two zote hurudisha zamu moja kwa moja kwa aliyecheza. Kwa wachezaji watatu au zaidi, angalau 2M − 1. Utafutaji kamili wa kompyuta juu ya migawanyo ya nasibu unaonyesha kwamba karata halisi mkononi mara chache huruhusu hilo: kwa karata saba na wachezaji wawili, kiwango cha chini cha zamu 7 hakikuwahi kufikiwa katika migawanyo 4,000.
• Ndefu zaidi. Chini ya kanuni rasmi, raundi haina urefu wa juu kabisa, kwa kuwa wachezaji wanaweza daima kuchukua karata badala ya kucheza, na rundo la karata zilizotupwa huchanganywa upya kuwa kitita kipya.
• Ya kawaida. Kwa wachezaji ambao daima hucheza karata halali ya nasibu, raundi milioni 58 zilizoigwa zote ziliisha. Kwa karata saba, raundi hudumu wastani wa zamu 46.7 kwa wachezaji wawili, 50.1 kwa wanne na 83.1 kwa kumi. Mpangilio wa viti una umuhimu: kwa wachezaji wanne, mchezaji wa kwanza hushinda asilimia 26.0 ya raundi na wa mwisho asilimia 24.3.

Kanuni ya uhifadhi kwa mikono mikubwa mno

Tokeo kuu linahusu mikono mikubwa sana, kwa kutumia kitita kisicho na mwisho kilichofikiriwa kikamilifu chenye uwiano uleule wa karata. Kila Draw Two au Wild Draw Four inayochezwa hupeleka karata za ziada mchezoni, na karata hizo za ziada zina karata nyingine za kuchukua, na kuendelea hivyo. Ikiwa kila karata ambayo mchezaji amewahi kushika hatimaye inachezwa, mizani hii huamua jumla:

T = (27/19) × N M zamu

Kiwango thabiti 27/19 ≈ 1.421 kinategemea tu sehemu ya karata za kuchukua katika kitita — Draw Two 8 na Wild Draw Four 4 kati ya 108. Uigaji ambamo Wild Draw Four inaruhusiwa wakati wowote unakikaribia, polepole.

Limbikizo

Kanuni rasmi inavunja sheria hii. Mkono mkubwa daima una karata fulani ya rangi ya sasa, hivyo hauwezi kamwe kucheza kihalali Wild Draw Four. Kila moja unayoipokea inabaki mkononi. Kufikia mwisho wa awamu kuu, kila mchezaji ana limbikizo la takriban M/23 za Wild Draw Four. Katika mchezo mmoja wa wachezaji wawili uliofuatiliwa kwa karibu, wenye mikono ya karata 1,000, mshindi wa mwisho alifikia karata 41, karibu zote zikiwa Wild Draw Four, dhidi ya 43 zilizotabiriwa.

Kisha unakuja mwisho wa kumwaga karata. Mchezaji aliyebaki na Wild Draw Four pekee hana karata ya rangi yoyote, hivyo zote zinakuwa halali kwa wakati mmoja. Kila moja inamlazimisha mchezaji anayefuata kuchukua karata nne na kukosa zamu.

• Kwa idadi shufwa ya wachezaji, umwagaji unakamilisha mzunguko kuzunguka meza: kila kiti cha pili kinamwaga, huku viti vilivyo katikati vikikusanya karata tu na kamwe havipati zamu. Raundi basi hudumu zamu (53/46) × N M — takriban 1.152, fupi kuliko bila kanuni hiyo. Uigaji unatoa 1.15192 ± 0.00034 kwa wachezaji wawili.
• Kwa idadi witiri, mpishano huo hauwezi kukamilika. Viti vinatulia katika mtindo ambao Gaur anaukokotoa kwa njia ya kinamba, bila fomula funge.

Urefu wa mchezo kwa kila karata kwa mikono mikubwa. Mistari ya vistari: Wild Draw Four daima halali, karibu na 27/19. Mistari imara: kanuni rasmi, ikitulia karibu na 53/46 kwa idadi shufwa ya wachezaji. — Kielelezo 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

Kushinda, si kudumu tu

Gaur pia aliziweka mbinu 48 kushindana zenyewe kwa zenyewe. Kwa wachezaji wawili, msawazo ni mbinu moja: shikilia karata zako za Wild, cheza karata za vitendo kwanza, taja rangi uliyonayo zaidi, na shambulia kwa karata za kuchukua na Skip pale mpinzani anapobaki na karata mbili au chache zaidi. Inashinda asilimia 62.8 ya raundi dhidi ya uchezaji wa nasibu. Uchaguzi wa rangi peke yake ndio muhimu zaidi, ukipandisha kiwango cha ushindi kutoka asilimia 51 hadi 58.

Mipaka ya makala iko wazi: matokeo ya mikono mikubwa yanaeleza kitita kilichofikiriwa kikamilifu (katika kitita halisi, mikono yote kwa pamoja haiwezi kuzidi karata 107), wachezaji wa kuigwa kamwe hawachukui karata kwa hiari, na mbinu 48 zilitengenezwa kwa mkono. Msimbo wote uko wazi kwa umma. Mwandishi anasema modeli kubwa ya lugha ilisaidia katika uandishi wa maneno na msimbo wa uigaji, na kwamba mwandishi alihakiki kila tokeo.