UNOの1ゲームはどれくらい続くのか

プラギャーン・ガウルによれば、UNOは最も広く遊ばれているカードゲームの一つであり、そのルールは解析できるほど単純だ。以前の研究では、ある手札を出し切れるかどうかを判定するのがどれほど難しいかが調べられた。ガウルが問うのは、もっと身近な疑問だ。それぞれM枚のカードで始めるN人のプレイヤーにとって、1ラウンドは何ターンかかるのか。最短で、最長で、そして平均で。

デッキは108枚からなる。4色それぞれに、0が1枚、1から9までの数字が各2枚、スキップ、リバース、ドロー2が各2枚。さらにワイルドが4枚と、ワイルドドロー4が4枚だ。公式ルールでは、ワイルドドロー4は、場の色のカードを1枚も持っていない人しか出すことができない。このたった一つのルールが、ゲームの終盤全体を形づくることがわかる。

最短、最長、典型

• 最短。 2人の場合、1ラウンドは少なくともMターン続く。スキップもリバースもドロー2も、すぐに自分に手番を戻すからだ。3人以上の場合は、少なくとも2M − 1ターン。ランダムな配り方に対する厳密なコンピューター探索によれば、実際の手札でそれが可能になることはまれだ。手札7枚、2人の場合、7ターンという最短は4000回の配りで一度も達成されなかった。
• 最長。 公式ルールでは、1ラウンドに最大の長さはない。プレイヤーはいつでもカードを出す代わりに引くことができ、捨て札の山はシャッフルされて新しい山札になるからだ。
• 典型。 常に出せるカードの中からランダムに1枚を出すプレイヤーの場合、シミュレーションした5800万ラウンドはすべて終わった。手札7枚では、1ラウンドは平均で、2人なら46.7ターン、4人なら50.1ターン、10人なら83.1ターン続く。座る順番も重要だ。4人の場合、最初のプレイヤーはラウンドの26.0%で勝ち、最後のプレイヤーは24.3%で勝つ。

巨大な手札の保存則

主な結果は、非常に大きな手札に関するものだ。カードの比率が同じで、終わりのない理想化されたデッキを使う。ドロー2やワイルドドロー4が出されるたびに、余分なカードが場に送り込まれ、その余分なカードの中にはさらにドローカードが含まれ、という具合に続いていく。プレイヤーが手にしたすべてのカードが最終的に出されるとすれば、この収支が合計を決める。

T = (27/19) × N M ターン

定数27/19 ≈ 1.421は、デッキに占めるドローカードの割合だけで決まる。108枚中、ドロー2が8枚、ワイルドドロー4が4枚だ。ワイルドドロー4をいつでも出せるようにしたシミュレーションは、ゆっくりとこの値に近づいていく。

ため込み

公式ルールは、この法則を崩してしまう。大きな手札には必ず場の色のカードが含まれているので、ワイルドドロー4を合法的に出すことが決してできない。受け取ったワイルドドロー4は、すべて手札に残る。主要な段階が終わる頃には、各プレイヤーが約M/23枚のワイルドドロー4をため込んでいる。手札1000枚で2人が対戦した、追跡記録の残る1ゲームでは、最終的な勝者の手札は41枚に達し、そのほとんどがワイルドドロー4だった。予測は43枚だ。

そして放出の終盤戦が始まる。ワイルドドロー4だけが残ったプレイヤーは、どの色のカードも持っていないので、それらがすべて一度に合法になる。1枚出すたびに、次のプレイヤーは4枚引いて手番を1回飛ばされる。

• プレイヤーの数が偶数の場合、放出はテーブルを一周して閉じる。1人おきの席が放出し、その間の席はカードを受け取るだけで、手番が一度も回ってこない。このときラウンドは (53/46) × N M ターン、つまり約1.152倍で終わり、このルールがない場合より短い。シミュレーションでは、2人の場合1.15192 ± 0.00034が得られる。
• 奇数の場合、この交互の流れは閉じることができない。席はあるパターンに落ち着くが、ガウルはそれを数値的に計算しており、閉じた式は得られていない。

大きな手札でのカード1枚あたりのゲームの長さ。破線:ワイルドドロー4が常に合法の場合、27/19付近。実線:公式ルールの場合、プレイヤー数が偶数なら53/46付近に落ち着く。— Gaur (2026)、図3、arXiv:2610.14076。

長く続くだけでなく、勝つために

ガウルは、48の戦略どうしを対戦させもした。2人の場合、均衡は一つの戦略になる。ワイルドは取っておき、アクションカードを先に出し、いちばん多く持っている色を宣言し、相手の手札が2枚以下になったらドローカードやスキップで攻める。これはランダムなプレイに対し、ラウンドの**62.8%**で勝つ。単独で最も効くのは色の選び方で、それだけで勝率が51%から58%に上がる。

この論文の限界は明確だ。大きな手札についての結果は理想化されたデッキについてのものだ(実際のデッキでは、全員の手札を合わせても107枚を超えられない)。シミュレーション上のプレイヤーは自分から進んでカードを引くことはなく、48の戦略は手作業で作られた。コードはすべて公開されている。著者は、文章の表現とシミュレーションのコードに大規模言語モデルの助けを借りたこと、そしてすべての結果を自ら確認したことを述べている。