BERAPA LAMA SATU PERMAINAN UNO?

Uno, tulis Pragyaan Gaur, adalah salah satu permainan kartu yang paling banyak dimainkan, dan aturannya cukup sederhana untuk dianalisis. Penelitian sebelumnya mempelajari seberapa sulit menentukan apakah sebuah tangan bisa dihabiskan. Gaur mengajukan pertanyaan yang lebih membumi: berapa giliran yang dibutuhkan satu ronde — paling sedikit, paling banyak, dan rata-rata — untuk N pemain yang masing-masing mulai dengan M kartu?

Dek berisi 108 kartu: pada masing-masing dari empat warna, satu kartu 0, dua kartu untuk setiap angka 1 sampai 9, dan masing-masing dua kartu Skip, Reverse, dan Draw Two; ditambah empat kartu Wild dan empat Wild Draw Four. Menurut aturan resmi, Wild Draw Four hanya boleh dimainkan oleh pemain yang tidak memegang kartu berwarna yang sedang berlaku. Satu aturan inilah yang ternyata membentuk seluruh akhir permainan.

Terpendek, terpanjang, biasa

• Terpendek. Dengan dua pemain, satu ronde berlangsung paling sedikit M giliran: Skip, Reverse, dan Draw Two semuanya langsung mengembalikan giliran. Dengan tiga pemain atau lebih, paling sedikit 2M − 1. Pencarian komputer yang eksak atas pembagian kartu acak menunjukkan bahwa tangan nyata jarang memungkinkannya: dengan tujuh kartu dan dua pemain, minimum 7 giliran tidak pernah tercapai dalam 4.000 pembagian.
• Terpanjang. Menurut aturan resmi, satu ronde tidak memiliki panjang maksimum, karena pemain selalu boleh mengambil kartu alih-alih bermain, dan tumpukan buangan dikocok menjadi tumpukan pengambilan yang baru.
• Biasa. Dengan pemain yang selalu memainkan kartu sah secara acak, 58 juta ronde simulasi semuanya selesai. Dengan tujuh kartu, satu ronde rata-rata berlangsung 46,7 giliran untuk dua pemain, 50,1 untuk empat, dan 83,1 untuk sepuluh. Urutan duduk berpengaruh: dengan empat pemain, pemain pertama memenangkan 26,0% ronde dan pemain terakhir 24,3%.

Hukum kekekalan untuk tangan raksasa

Hasil utamanya berkaitan dengan tangan yang sangat besar, menggunakan dek ideal tanpa akhir dengan proporsi kartu yang sama. Setiap Draw Two atau Wild Draw Four yang dimainkan memasukkan kartu tambahan ke dalam permainan, dan kartu tambahan itu mengandung lebih banyak kartu ambil, dan seterusnya. Jika setiap kartu yang pernah dipegang pemain akhirnya dimainkan, keseimbangan ini menetapkan totalnya:

T = (27/19) × N M giliran

Konstanta 27/19 ≈ 1,421 hanya bergantung pada porsi kartu ambil dalam dek — 8 Draw Two dan 4 Wild Draw Four dari 108. Simulasi yang membolehkan Wild Draw Four dimainkan kapan saja mendekati angka ini, secara perlahan.

Timbunan

Aturan resmi mematahkan hukum ini. Tangan yang besar selalu memegang kartu berwarna yang sedang berlaku, sehingga tidak pernah bisa memainkan Wild Draw Four secara sah. Setiap kartu yang diterimanya tetap di tangan. Pada akhir fase utama, setiap pemain memegang timbunan sekitar M/23 Wild Draw Four. Dalam satu permainan dua pemain yang dilacak dengan tangan berisi 1.000 kartu, pemenang akhirnya mencapai 41 kartu, hampir semuanya Wild Draw Four, dibandingkan 43 yang diprediksi.

Lalu tibalah akhir permainan pembuangan. Pemain yang hanya tersisa dengan Wild Draw Four tidak memegang kartu dari warna apa pun, sehingga semuanya menjadi sah sekaligus. Setiap kartu memaksa pemain berikutnya mengambil empat kartu dan kehilangan giliran.

• Dengan jumlah pemain genap, pembuangan itu menutup lingkaran di sekeliling meja: setiap kursi berselang membuang kartu, sementara kursi-kursi di antaranya hanya mengumpulkan kartu dan tidak pernah mendapat giliran. Ronde kemudian berlangsung (53/46) × N M giliran — sekitar 1,152, lebih singkat daripada tanpa aturan itu. Simulasi memberikan 1,15192 ± 0,00034 untuk dua pemain.
• Dengan jumlah ganjil, pergantian itu tidak dapat menutup. Kursi-kursi mengendap dalam pola yang dihitung Gaur secara numerik, tanpa rumus tertutup.

Panjang permainan per kartu untuk tangan besar. Garis putus-putus: Wild Draw Four selalu sah, di dekat 27/19. Garis padat: aturan resmi, yang mengendap di dekat 53/46 untuk jumlah pemain genap. — Gambar 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

Menang, bukan sekadar bertahan

Gaur juga mengadu 48 strategi satu sama lain. Dengan dua pemain, keseimbangannya adalah satu strategi tunggal: simpan kartu Wild, mainkan kartu aksi lebih dulu, sebut warna yang paling banyak Anda pegang, dan menyerang dengan kartu ambil dan Skip ketika lawan tinggal memegang dua kartu atau kurang. Strategi ini memenangkan 62,8% ronde melawan permainan acak. Pilihan warna sendiri paling berpengaruh, menaikkan tingkat kemenangan dari 51% menjadi 58%.

Keterbatasan makalah ini jelas: hasil untuk tangan besar menggambarkan dek ideal (pada dek nyata, semua tangan bersama-sama tidak dapat melebihi 107 kartu), pemain simulasi tidak pernah mengambil kartu secara sukarela, dan ke-48 strategi itu dibuat secara manual. Semua kodenya terbuka untuk umum. Penulis mengatakan bahwa sebuah model bahasa besar membantu dalam penyusunan kalimat dan kode simulasi, dan bahwa penulis memeriksa setiap hasilnya.