یک دست بازی اونو چقدر طول می‌کشد؟

به نوشتهٔ Pragyaan Gaur، اونو یکی از پرطرفدارترین بازی‌های ورق است و قواعدش آن‌قدر ساده است که بتوان تحلیلش کرد. کارهای پیشین بررسی کرده بودند که تصمیم‌گیری دربارهٔ این‌که آیا یک دست را می‌توان تا آخر بازی کرد چقدر دشوار است. Gaur پرسشی ملموس‌تر می‌پرسد: برای N بازیکن که هر کدام با M کارت شروع می‌کنند، یک دست چند نوبت طول می‌کشد — دست‌کم، دست‌بالا و به‌طور میانگین؟

دسته 108 کارت دارد: در هر یک از چهار رنگ، یک 0، از هر عدد 1 تا 9 دو کارت، و از Skip و Reverse و Draw Two هر کدام دو کارت؛ به‌علاوهٔ چهار Wild و چهار Wild Draw Four. طبق قواعد رسمی، Wild Draw Four را فقط کسی می‌تواند بازی کند که هیچ کارتی از رنگ جاری نداشته باشد. معلوم می‌شود همین یک قاعده کل پایان بازی را شکل می‌دهد.

کوتاه‌ترین، طولانی‌ترین، معمول

کوتاه‌ترین. با دو بازیکن، یک دست دست‌کم M نوبت طول می‌کشد: Skip، Reverse و Draw Two همگی نوبت را مستقیم برمی‌گردانند. با سه بازیکن یا بیشتر، دست‌کم 2M − 1. یک جست‌وجوی رایانه‌ای دقیق روی پخش‌های تصادفی نشان می‌دهد دست‌های واقعی به‌ندرت چنین اجازه‌ای می‌دهند: با هفت کارت و دو بازیکن، کمینهٔ 7 نوبتی در 4,000 پخش هرگز به دست نیامد.
طولانی‌ترین. طبق قواعد رسمی، یک دست هیچ طول بیشینه‌ای ندارد، چون بازیکنان همیشه می‌توانند به‌جای بازی کردن کارت بکشند و کپهٔ کارت‌های دورریخته دوباره بُر زده می‌شود و دستهٔ تازه‌ای می‌سازد.
معمول. با بازیکنانی که همیشه یک کارت مجاز تصادفی بازی می‌کنند، 58 میلیون دست شبیه‌سازی‌شده همگی به پایان رسیدند. با هفت کارت، یک دست به‌طور میانگین برای دو بازیکن 46.7 نوبت، برای چهار بازیکن 50.1 و برای ده بازیکن 83.1 نوبت طول می‌کشد. ترتیب نشستن مهم است: با چهار بازیکن، بازیکن نخست 26.0٪ دست‌ها و بازیکن آخر 24.3٪ را می‌برد.

قانون پایستگی برای دست‌های غول‌آسا

نتیجهٔ اصلی به دست‌های بسیار بزرگ مربوط است و از دسته‌ای آرمانی و بی‌پایان با همان نسبت‌های کارت استفاده می‌کند. هر Draw Two یا Wild Draw Four که بازی شود کارت‌های اضافی وارد بازی می‌کند و این کارت‌های اضافی خود کارت‌های کشیدنی بیشتری دارند و همین‌طور الی آخر. اگر هر کارتی که بازیکنی زمانی در دست داشته سرانجام بازی شود، این توازن مجموع را تعیین می‌کند:

T = (27/19) × N M نوبت

ثابت 27/19 ≈ 1.421 فقط به سهم کارت‌های کشیدنی در دسته بستگی دارد — 8 Draw Two و 4 Wild Draw Four از 108 کارت. شبیه‌سازی‌هایی که در آن‌ها Wild Draw Four همیشه مجاز شده، به‌کندی به آن نزدیک می‌شوند.

انبار

قاعدهٔ رسمی این قانون را می‌شکند. یک دست بزرگ همیشه کارتی از رنگ جاری دارد، پس هرگز نمی‌تواند Wild Draw Four را به‌طور مجاز بازی کند. هر کدام که بگیرد در دست می‌ماند. تا پایان مرحلهٔ اصلی، هر بازیکن انباری از حدود M/23 کارت Wild Draw Four دارد. در یک بازی دونفرهٔ ردیابی‌شده با دست‌های 1,000 کارتی، برندهٔ نهایی به 41 کارت رسید که تقریباً همه Wild Draw Four بودند، در برابر 43 کارت پیش‌بینی‌شده.

سپس پایان‌بازیِ خالی کردن فرا می‌رسد. بازیکنی که فقط Wild Draw Four برایش مانده هیچ کارتی از هیچ رنگی ندارد، پس همهٔ آن‌ها یک‌باره مجاز می‌شوند. هر کدام بازیکن بعدی را وادار می‌کند چهار کارت بکشد و نوبتش را از دست بدهد.

با شمار زوج بازیکن، خالی کردن دور میز بسته می‌شود: یکی در میان صندلی‌ها کارت خالی می‌کنند، در حالی که صندلی‌های میانی فقط کارت جمع می‌کنند و هرگز نوبت نمی‌گیرند. آنگاه دست (53/46) × N M نوبت طول می‌کشد — حدود 1.152، کوتاه‌تر از حالت بدون این قاعده. شبیه‌سازی‌ها برای دو بازیکن 1.15192 ± 0.00034 می‌دهند.
با شمار فرد، این یکی‌درمیانی نمی‌تواند بسته شود. صندلی‌ها در الگویی جا می‌افتند که Gaur آن را به‌صورت عددی و بدون فرمول بسته محاسبه می‌کند.

نمودار میانگین نوبت به ازای هر کارت بر حسب اندازهٔ دست آغازین: منحنی‌های پیوسته به سوی 53/46 پایین می‌آیند و منحنی‌های خط‌چین نزدیک 27/19 می‌مانند.

طول بازی به ازای هر کارت برای دست‌های بزرگ. خط‌چین‌ها: Wild Draw Four همیشه مجاز، نزدیک 27/19. خطوط پیوسته: قاعدهٔ رسمی، که برای شمار زوج بازیکن نزدیک 53/46 جا می‌افتد. — Figure 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

بردن، نه فقط دوام آوردن

Gaur همچنین 48 راهبرد را به رقابت با یکدیگر واداشت. با دو بازیکن، تعادل یک راهبرد واحد است: Wildهایت را نگه دار، اول کارت‌های اکشن را بازی کن، رنگی را که بیشتر داری اعلام کن، و وقتی حریف به دو کارت یا کمتر رسید با کارت‌های کشیدنی و Skip حمله کن. این راهبرد در برابر بازی تصادفی 62.8٪ دست‌ها را می‌برد. انتخاب رنگ به‌تنهایی از همه مهم‌تر است و نرخ برد را از 51٪ به 58٪ می‌رساند.

محدودیت‌های مقاله روشن است: نتایج دست‌های بزرگ دسته‌ای آرمانی را توصیف می‌کنند (در یک دستهٔ واقعی، مجموع همهٔ دست‌ها نمی‌تواند از 107 کارت بیشتر شود)، بازیکنان شبیه‌سازی‌شده هرگز داوطلبانه کارت نمی‌کشند و 48 راهبرد دستی ساخته شده‌اند. همهٔ کدها عمومی است. نویسنده می‌گوید یک مدل زبانی بزرگ در نگارش و کد شبیه‌سازی کمک کرده و نویسنده همهٔ نتایج را بررسی کرده است.