UNO का एक खेल कितना लंबा चलता है?

प्रज्ञान गौड़ लिखते हैं कि Uno सबसे ज़्यादा खेले जाने वाले ताश के खेलों में से एक है, और इसके नियम इतने सरल हैं कि इनका विश्लेषण किया जा सके। पिछले कामों ने अध्ययन किया था कि यह तय करना कितना कठिन है कि कोई हाथ पूरा खेला जा सकता है या नहीं। गौड़ एक ज़्यादा ज़मीनी सवाल पूछते हैं: N खिलाड़ियों के लिए, जिनमें से हर एक M पत्तों से शुरू करता है, एक राउंड कितनी बारियों तक चलता है — कम से कम, ज़्यादा से ज़्यादा और औसतन?

गड्डी में 108 पत्ते हैं: चार रंगों में से हर एक में एक 0, 1 से 9 तक हर अंक के दो, और स्किप, रिवर्स व ड्रॉ टू के दो-दो; इसके अलावा चार वाइल्ड और चार वाइल्ड ड्रॉ फ़ोर। आधिकारिक नियमों के तहत वाइल्ड ड्रॉ फ़ोर सिर्फ़ वही खेल सकता है जिसके पास मौजूदा रंग का कोई पत्ता न हो। पता चलता है कि यही एक नियम पूरे अंत को आकार देता है।

सबसे छोटा, सबसे लंबा, आम

• सबसे छोटा। दो खिलाड़ियों के साथ एक राउंड कम से कम M बारी चलता है: स्किप, रिवर्स और ड्रॉ टू, सभी बारी सीधे लौटा देते हैं। तीन या ज़्यादा खिलाड़ियों के साथ कम से कम 2M − 1। बेतरतीब बँटाई पर एक सटीक कंप्यूटर खोज दिखाती है कि असली हाथ शायद ही ऐसा होने देते हैं: सात पत्तों और दो खिलाड़ियों के साथ 4,000 बँटाइयों में 7 बारी का न्यूनतम कभी नहीं पहुँचा गया।
• सबसे लंबा। आधिकारिक नियमों के तहत एक राउंड की कोई अधिकतम लंबाई नहीं है, क्योंकि खिलाड़ी खेलने के बजाय हमेशा पत्ता उठा सकते हैं, और फेंके गए पत्तों का ढेर फेंटकर नई गड्डी बना दिया जाता है।
• आम। हमेशा कोई बेतरतीब वैध पत्ता खेलने वाले खिलाड़ियों के साथ, 5.8 करोड़ सिमुलेट किए गए राउंड सभी ख़त्म हुए। सात पत्तों के साथ एक राउंड दो खिलाड़ियों के लिए औसतन 46.7 बारी, चार के लिए 50.1 और दस के लिए 83.1 बारी चलता है। बैठने का क्रम मायने रखता है: चार खिलाड़ियों में पहला खिलाड़ी 26.0% राउंड जीतता है और आख़िरी 24.3%।

बहुत बड़े हाथों के लिए एक संरक्षण नियम

मुख्य नतीजा बहुत बड़े हाथों से जुड़ा है, एक आदर्श अंतहीन गड्डी का इस्तेमाल करते हुए जिसमें पत्तों के अनुपात वही हैं। खेला गया हर ड्रॉ टू या वाइल्ड ड्रॉ फ़ोर अतिरिक्त पत्ते खेल में भेजता है, और उन अतिरिक्त पत्तों में और ड्रॉ पत्ते होते हैं, और यही चलता रहता है। अगर किसी खिलाड़ी के हाथ में कभी आया हर पत्ता आख़िरकार खेला जाता है, तो यह संतुलन कुल संख्या तय कर देता है:

T = (27/19) × N M बारियाँ

स्थिरांक 27/19 ≈ 1.421 सिर्फ़ गड्डी में ड्रॉ पत्तों के हिस्से पर निर्भर करता है — 108 में से 8 ड्रॉ टू और 4 वाइल्ड ड्रॉ फ़ोर। जिन सिमुलेशनों में वाइल्ड ड्रॉ फ़ोर को किसी भी समय वैध बनाया गया, वे धीरे-धीरे इसके क़रीब पहुँचते हैं।

जमाख़ोरी

आधिकारिक नियम इस क़ानून को तोड़ देता है। एक बड़े हाथ में हमेशा मौजूदा रंग का कोई न कोई पत्ता होता है, इसलिए वह कभी भी वैध रूप से वाइल्ड ड्रॉ फ़ोर नहीं खेल सकता। उसे मिलने वाला हर ऐसा पत्ता हाथ में ही रह जाता है। मुख्य चरण के अंत तक हर खिलाड़ी के पास लगभग M/23 वाइल्ड ड्रॉ फ़ोर का ढेर जमा हो जाता है। 1,000 पत्तों के हाथों वाले दो खिलाड़ियों के एक ट्रैक किए गए खेल में, आख़िरी विजेता के पास 41 पत्ते थे, लगभग सभी वाइल्ड ड्रॉ फ़ोर, जबकि अनुमान 43 का था।

फिर आता है एक पत्ते-फेंक अंत। जिस खिलाड़ी के पास सिर्फ़ वाइल्ड ड्रॉ फ़ोर बचे हों, उसके पास किसी भी रंग का पत्ता नहीं होता, इसलिए वे सब एक साथ वैध हो जाते हैं। हर एक अगले खिलाड़ी को चार पत्ते उठवाता है और उसकी बारी छीन लेता है।

• सम संख्या में खिलाड़ियों के साथ यह पत्ते-फेंक मेज़ के चारों ओर एक बंद चक्र बना लेता है: हर दूसरी सीट पत्ते फेंकती है, जबकि बीच की सीटें सिर्फ़ पत्ते बटोरती हैं और उन्हें कभी बारी नहीं मिलती। तब राउंड (53/46) × N M बारी चलता है — लगभग 1.152, नियम के बिना की तुलना में छोटा। दो खिलाड़ियों के लिए सिमुलेशन 1.15192 ± 0.00034 देते हैं।
• विषम संख्या के साथ यह अदला-बदली बंद नहीं हो पाती। सीटें एक ऐसे पैटर्न में ढल जाती हैं जिसे गौड़ संख्यात्मक रूप से निकालते हैं, बिना किसी बंद सूत्र के।

बड़े हाथों के लिए प्रति पत्ता खेल की लंबाई। धराशायी रेखाएँ: वाइल्ड ड्रॉ फ़ोर हमेशा वैध, 27/19 के पास। ठोस रेखाएँ: आधिकारिक नियम, सम संख्या में खिलाड़ियों के लिए 53/46 के पास स्थिर। — चित्र 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

जीतना, सिर्फ़ टिके रहना नहीं

गौड़ ने 48 रणनीतियों को एक-दूसरे से भिड़ाया भी। दो खिलाड़ियों के साथ संतुलन एक ही रणनीति है: अपने वाइल्ड पत्ते बचाकर रखो, पहले एक्शन पत्ते चलो, वह रंग बोलो जो तुम्हारे पास सबसे ज़्यादा है, और हमला करो — ड्रॉ पत्तों और स्किप से, जब प्रतिद्वंद्वी के पास दो या उससे कम पत्ते बचें। यह बेतरतीब खेल के ख़िलाफ़ 62.8% राउंड जीतती है। अकेले रंग का चुनाव सबसे ज़्यादा असर डालता है, जीत की दर को 51% से 58% तक ले जाता है।

शोधपत्र की सीमाएँ साफ़ हैं: बड़े हाथों वाले नतीजे एक आदर्श गड्डी का वर्णन करते हैं (असली गड्डी में सारे हाथ मिलाकर 107 पत्तों से ज़्यादा नहीं हो सकते), सिमुलेट किए गए खिलाड़ी कभी अपनी मर्ज़ी से पत्ता नहीं उठाते, और 48 रणनीतियाँ हाथ से बनाई गई थीं। सारा कोड सार्वजनिक है। लेखक बताते हैं कि एक बड़े भाषा मॉडल ने शब्दों और सिमुलेशन कोड में मदद की, और लेखक ने हर नतीजे की जाँच की।