उनोचा एक डाव किती वेळ चालतो?

प्रज्ञान गौर लिहितात की उनो हा सर्वाधिक खेळल्या जाणाऱ्या पत्त्यांच्या खेळांपैकी एक आहे, आणि त्याचे नियम विश्लेषण करता येण्याइतके सोपे आहेत. आधीच्या कामाने एखादा हात पूर्ण खेळून संपवता येईल का हे ठरवणे किती कठीण आहे याचा अभ्यास केला होता. गौर एक अधिक व्यावहारिक प्रश्न विचारतात: प्रत्येकी M पत्त्यांनी सुरुवात करणाऱ्या N खेळाडूंसाठी एक फेरी किती चाली घेते — किमान, कमाल आणि सरासरी?

पत्त्यांच्या संचात 108 पत्ते असतात: चार रंगांपैकी प्रत्येकात एक 0, 1 ते 9 पर्यंतच्या प्रत्येक अंकाचे दोन, आणि स्किप, रिव्हर्स व ड्रॉ टू यांचे प्रत्येकी दोन; शिवाय चार वाइल्ड आणि चार वाइल्ड ड्रॉ फोर. अधिकृत नियमांनुसार, वाइल्ड ड्रॉ फोर फक्त तोच खेळू शकतो ज्याच्याकडे सध्याच्या रंगाचा एकही पत्ता नाही. हा एकच नियम संपूर्ण शेवटाला आकार देतो, असे दिसून येते.

सर्वात लहान, सर्वात लांब, नेहमीची

• सर्वात लहान. दोन खेळाडूंसह, एक फेरी किमान M चाली चालते: स्किप, रिव्हर्स आणि ड्रॉ टू हे सर्व चाल थेट परत आपल्याकडेच देतात. तीन किंवा अधिक खेळाडूंसह, किमान 2M − 1. यादृच्छिक वाटपांवरील अचूक संगणकीय शोध दाखवतो की खरे हात क्वचितच हे शक्य करतात: सात पत्ते आणि दोन खेळाडूंसह, 4,000 वाटपांमध्ये 7-चालींचे किमान एकदाही गाठले गेले नाही.
• सर्वात लांब. अधिकृत नियमांनुसार, फेरीला कोणतीही कमाल लांबी नाही, कारण खेळाडू नेहमी खेळण्याऐवजी पत्ता ओढू शकतात, आणि टाकलेल्या पत्त्यांचा ढीग पिसून नवीन गठ्ठा बनतो.
• नेहमीची. नेहमी यादृच्छिकपणे एखादा वैध पत्ता खेळणाऱ्या खेळाडूंसह, सिम्युलेट केलेल्या 5.8 कोटी फेऱ्या सर्व संपल्या. सात पत्त्यांसह, एक फेरी सरासरी दोन खेळाडूंसाठी 46.7 चाली, चौघांसाठी 50.1 आणि दहांसाठी 83.1 चाली चालते. बसण्याचा क्रम महत्त्वाचा आहे: चार खेळाडूंसह, पहिला खेळाडू 26.0% फेऱ्या जिंकतो आणि शेवटचा 24.3%.

प्रचंड हातांसाठी एक संवर्धन नियम

मुख्य निकाल अतिशय मोठ्या हातांबद्दल आहे, ज्यासाठी त्याच पत्त्यांच्या प्रमाणाचा एक आदर्शीकृत अंतहीन संच वापरला आहे. खेळलेला प्रत्येक ड्रॉ टू किंवा वाइल्ड ड्रॉ फोर अतिरिक्त पत्ते खेळात पाठवतो, आणि त्या अतिरिक्त पत्त्यांमध्ये आणखी ड्रॉ पत्ते असतात, आणि असेच पुढे. जर खेळाडूकडे कधीही आलेला प्रत्येक पत्ता शेवटी खेळला गेला, तर हा ताळेबंद एकूण संख्या निश्चित करतो:

T = (27/19) × N M चाली

स्थिरांक 27/19 ≈ 1.421 फक्त संचातील ड्रॉ पत्त्यांच्या वाट्यावर अवलंबून आहे — 108 पैकी 8 ड्रॉ टू आणि 4 वाइल्ड ड्रॉ फोर. वाइल्ड ड्रॉ फोर कधीही वैध ठरवलेली सिम्युलेशन्स हळूहळू त्याच्या जवळ जातात.

साठा

अधिकृत नियम हा नियम मोडतो. मोठ्या हातात सध्याच्या रंगाचा एखादा पत्ता नेहमीच असतो, त्यामुळे तो वाइल्ड ड्रॉ फोर कधीच वैधपणे खेळू शकत नाही. त्याला मिळणारा प्रत्येक वाइल्ड ड्रॉ फोर हातातच राहतो. मुख्य टप्प्याच्या शेवटी, प्रत्येक खेळाडूकडे सुमारे M/23 वाइल्ड ड्रॉ फोरचा साठा असतो. 1,000-पत्त्यांच्या हातांसह दोन खेळाडूंच्या, मागोवा घेतलेल्या एका खेळात, अंतिम विजेत्याकडे 41 पत्ते झाले, जवळजवळ सर्व वाइल्ड ड्रॉ फोर, तर भाकीत 43 चे होते.

मग येतो पत्ते ओतण्याचा शेवट. फक्त वाइल्ड ड्रॉ फोर उरलेल्या खेळाडूकडे कोणत्याही रंगाचा पत्ता नसतो, त्यामुळे ते सर्व एकाच वेळी वैध होतात. प्रत्येक पत्ता पुढच्या खेळाडूला चार पत्ते ओढायला आणि एक चाल गमवायला लावतो.

• खेळाडूंची संख्या सम असेल, तर पत्ते ओतणे टेबलभोवती फिरून पूर्ण होते: एकाआड एक जागा पत्ते ओतते, तर मधल्या जागा फक्त पत्ते गोळा करतात आणि त्यांना कधीच चाल मिळत नाही. मग फेरी (53/46) × N M चाली चालते — सुमारे 1.152, नियमाशिवायच्या तुलनेत कमी. सिम्युलेशन्स दोन खेळाडूंसाठी 1.15192 ± 0.00034 देतात.
• संख्या विषम असेल, तर ही आलटून-पालटून क्रिया पूर्ण होऊ शकत नाही. जागा एका आकृतिबंधात स्थिरावतात, जो गौर संख्यात्मकरीत्या मोजतात, बंद सूत्राशिवाय.

मोठ्या हातांसाठी प्रति पत्ता खेळाची लांबी. तुटक रेषा: वाइल्ड ड्रॉ फोर नेहमी वैध, 27/19 जवळ. भरीव रेषा: अधिकृत नियम, सम संख्येच्या खेळाडूंसाठी 53/46 जवळ स्थिरावणाऱ्या. — आकृती 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

फक्त टिकणे नव्हे, जिंकणे

गौर यांनी 48 रणनीती एकमेकांविरुद्ध खेळवल्या. दोन खेळाडूंसह, समतोल ही एकच रणनीती आहे: आपले वाइल्ड पत्ते राखून ठेवा, ॲक्शन पत्ते आधी खेळा, ज्या रंगाचे पत्ते सर्वाधिक आहेत तो रंग जाहीर करा, आणि प्रतिस्पर्ध्याकडे दोन किंवा कमी पत्ते उरले की ड्रॉ पत्ते आणि स्किप्सनी हल्ला करा. ती यादृच्छिक खेळाविरुद्ध 62.8% फेऱ्या जिंकते. एकट्याने सर्वाधिक महत्त्वाचा आहे ती रंगाची निवड, जी विजयाचा दर 51% वरून 58% पर्यंत नेतो.

शोधनिबंधाच्या मर्यादा स्पष्ट आहेत: मोठ्या हातांचे निकाल एका आदर्शीकृत संचाचे वर्णन करतात (खऱ्या संचात सर्व हात मिळून 107 पत्त्यांपेक्षा जास्त असू शकत नाहीत), सिम्युलेट केलेले खेळाडू कधीही स्वेच्छेने पत्ता ओढत नाहीत, आणि 48 रणनीती हाताने तयार केल्या होत्या. सर्व कोड सार्वजनिक आहे. लेखक म्हणतात की शब्दरचना आणि सिम्युलेशन कोडसाठी एका मोठ्या भाषा मॉडेलची मदत झाली, आणि प्रत्येक निकाल त्यांनी स्वतः तपासला.