WIE LANGE DAUERT EINE PARTIE UNO?

Uno, schreibt Pragyaan Gaur, ist eines der meistgespielten Kartenspiele, und seine Regeln sind einfach genug, um es zu analysieren. Frühere Arbeiten untersuchten, wie schwer es ist zu entscheiden, ob sich eine Hand ausspielen lässt. Gaur stellt eine bodenständigere Frage: Wie viele Züge dauert eine Runde – mindestens, höchstens und im Durchschnitt – bei N Spielern, die jeweils mit M Karten beginnen?

Das Spiel hat 108 Karten: in jeder der vier Farben eine 0, je zwei von jeder Zahl von 1 bis 9 und je zwei Aussetzen-, Richtungswechsel- und Zieh-Zwei-Karten; dazu vier Farbwahlkarten und vier Zieh-Vier-Farbwahlkarten. Nach den offiziellen Regeln darf eine Zieh-Vier-Farbwahlkarte nur von jemandem gespielt werden, der keine Karte der aktuellen Farbe hat. Genau diese eine Regel prägt, wie sich zeigt, das gesamte Ende.

Am kürzesten, am längsten, typisch

• Am kürzesten. Bei zwei Spielern dauert eine Runde mindestens M Züge: Aussetzen-, Richtungswechsel- und Zieh-Zwei-Karten geben den Zug alle direkt zurück. Bei drei oder mehr Spielern mindestens 2M − 1. Eine exakte Computersuche über zufällige Austeilungen zeigt, dass echte Hände das selten zulassen: Mit sieben Karten und zwei Spielern wurde das Minimum von 7 Zügen in 4.000 Austeilungen nie erreicht.
• Am längsten. Nach den offiziellen Regeln hat eine Runde keine Höchstdauer, da die Spieler immer ziehen statt spielen dürfen und der Ablagestapel zu einem neuen Nachziehstapel gemischt wird.
• Typisch. Mit Spielern, die immer eine zufällige erlaubte Karte spielen, endeten 58 Millionen simulierte Runden alle. Mit sieben Karten dauert eine Runde im Schnitt 46,7 Züge bei zwei Spielern, 50,1 bei vier und 83,1 bei zehn. Die Sitzreihenfolge spielt eine Rolle: Bei vier Spielern gewinnt der erste 26,0 % der Runden und der letzte 24,3 %.

Ein Erhaltungssatz für riesige Hände

Das Hauptergebnis betrifft sehr große Hände, mit einem idealisierten endlosen Kartenstapel mit denselben Kartenanteilen. Jede gespielte Zieh-Zwei- oder Zieh-Vier-Farbwahlkarte bringt zusätzliche Karten ins Spiel, und diese zusätzlichen Karten enthalten weitere Ziehkarten, und so weiter. Wenn jede Karte, die ein Spieler je hält, irgendwann gespielt wird, legt diese Bilanz die Gesamtzahl fest:

T = (27/19) × N M Züge

Die Konstante 27/19 ≈ 1,421 hängt nur vom Anteil der Ziehkarten im Spiel ab – 8 Zieh-Zwei- und 4 Zieh-Vier-Farbwahlkarten von 108. Simulationen, in denen die Zieh-Vier-Farbwahlkarte jederzeit erlaubt ist, nähern sich ihr an, langsam.

Der Hort

Die offizielle Regel bricht dieses Gesetz. Eine große Hand hält immer irgendeine Karte der aktuellen Farbe und kann daher nie regelkonform eine Zieh-Vier-Farbwahlkarte spielen. Jede, die sie erhält, bleibt in der Hand. Am Ende der Hauptphase hält jeder Spieler einen Hort von etwa M/23 Zieh-Vier-Farbwahlkarten. In einer nachverfolgten Partie mit zwei Spielern und Händen von 1.000 Karten erreichte der spätere Gewinner 41 Karten, fast alle Zieh-Vier-Farbwahlkarten, gegenüber den 43 vorhergesagten.

Dann folgt ein Abwurf-Endspiel. Ein Spieler, der nur noch Zieh-Vier-Farbwahlkarten hat, hält keine Karte irgendeiner Farbe, also werden sie alle auf einmal erlaubt. Jede zwingt den nächsten Spieler, vier zu ziehen und einen Zug auszusetzen.

• Bei einer geraden Anzahl von Spielern schließt sich der Abwurf um den Tisch: Jeder zweite Platz wirft ab, während die Plätze dazwischen nur Karten sammeln und nie an die Reihe kommen. Die Runde dauert dann (53/46) × N M Züge – etwa 1,152, kürzer als ohne die Regel. Simulationen ergeben 1,15192 ± 0,00034 für zwei Spieler.
• Bei einer ungeraden Anzahl kann sich der Wechsel nicht schließen. Die Plätze pendeln sich in ein Muster ein, das Gaur numerisch berechnet, ohne geschlossene Formel.

Spieldauer pro Karte für große Hände. Gestrichelte Linien: Zieh-Vier-Farbwahlkarte immer erlaubt, nahe 27/19. Durchgezogene Linien: die offizielle Regel, die sich bei einer geraden Spielerzahl nahe 53/46 einpendelt. — Abbildung 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

Gewinnen, nicht nur durchhalten

Gaur ließ auch 48 Strategien gegeneinander antreten. Bei zwei Spielern ist das Gleichgewicht eine einzige Strategie: Farbwahlkarten behalten, Aktionskarten zuerst spielen, die Farbe ansagen, von der man am meisten hat, und angreifen – mit Ziehkarten und Aussetzen-Karten, wenn der Gegner nur noch zwei Karten oder weniger hat. Sie gewinnt 62,8 % der Runden gegen zufälliges Spiel. Die Farbwahl zählt für sich genommen am meisten und hebt die Gewinnquote von 51 % auf 58 %.

Die Grenzen der Arbeit sind klar: Die Ergebnisse für große Hände beschreiben einen idealisierten Kartenstapel (bei einem echten Spiel können alle Hände zusammen 107 Karten nicht überschreiten), simulierte Spieler ziehen nie freiwillig, und die 48 Strategien wurden von Hand gebaut. Der gesamte Code ist öffentlich. Der Autor gibt an, dass ein großes Sprachmodell bei der Formulierung und beim Simulationscode geholfen hat und dass der Autor jedes Ergebnis überprüft hat.