QUANTO DURA UMA PARTIDA DE UNO?

Uno, escreve Pragyaan Gaur, é um dos jogos de cartas mais jogados, e suas regras são simples o bastante para serem analisadas. Trabalhos anteriores estudaram quão difícil é decidir se uma mão pode ser descartada por completo. Gaur faz uma pergunta mais prática: quantas jogadas dura uma rodada — no mínimo, no máximo e em média — para N jogadores que começam com M cartas cada um?

O baralho tem 108 cartas: em cada uma das quatro cores, um 0, duas de cada número de 1 a 9, e duas de cada carta Pular, Inverter e Compra Dois; mais quatro Coringas e quatro Coringas Compra Quatro. Pelas regras oficiais, um Coringa Compra Quatro só pode ser jogado por quem não tem nenhuma carta da cor atual. Essa única regra acaba moldando todo o final.

Mais curta, mais longa, típica

• Mais curta. Com dois jogadores, uma rodada dura pelo menos M jogadas: Pular, Inverter e Compra Dois devolvem todas a vez diretamente. Com três ou mais jogadores, pelo menos 2M − 1. Uma busca exata por computador em distribuições aleatórias mostra que mãos reais raramente permitem isso: com sete cartas e dois jogadores, o mínimo de 7 jogadas nunca foi atingido em 4.000 distribuições.
• Mais longa. Pelas regras oficiais, uma rodada não tem duração máxima, pois os jogadores sempre podem comprar em vez de jogar, e a pilha de descarte é embaralhada para formar um novo monte de compra.
• Típica. Com jogadores que sempre jogam uma carta permitida ao acaso, 58 milhões de rodadas simuladas terminaram todas. Com sete cartas, uma rodada dura em média 46,7 jogadas para dois jogadores, 50,1 para quatro e 83,1 para dez. A ordem dos lugares conta: com quatro jogadores, o primeiro vence 26,0% das rodadas e o último 24,3%.

Uma lei de conservação para mãos gigantes

O resultado principal diz respeito a mãos muito grandes, com um baralho idealizado sem fim e as mesmas proporções de cartas. Cada Compra Dois ou Coringa Compra Quatro jogado coloca cartas extras em jogo, e essas cartas extras contêm mais cartas de compra, e assim por diante. Se toda carta que um jogador chega a ter na mão acaba sendo jogada, esse balanço fixa o total:

T = (27/19) × N M jogadas

A constante 27/19 ≈ 1,421 depende apenas da proporção de cartas de compra no baralho — 8 Compra Dois e 4 Coringas Compra Quatro em 108. As simulações em que o Coringa Compra Quatro é permitido a qualquer momento se aproximam dela, lentamente.

O estoque

A regra oficial quebra essa lei. Uma mão grande sempre tem alguma carta da cor atual, por isso nunca pode jogar legalmente um Coringa Compra Quatro. Todos os que recebe ficam na mão. Ao fim da fase principal, cada jogador guarda um estoque de cerca de M/23 Coringas Compra Quatro. Numa partida de dois jogadores acompanhada em detalhe, com mãos de 1.000 cartas, o futuro vencedor chegou a 41 cartas, quase todas Coringas Compra Quatro, contra as 43 previstas.

Vem então um final de descarte. Um jogador que fica só com Coringas Compra Quatro não tem carta de nenhuma cor, então todos se tornam permitidos de uma vez. Cada um faz o jogador seguinte comprar quatro e perder a vez.

• Com um número par de jogadores, o descarte se fecha em volta da mesa: um lugar sim, um lugar não descarta, enquanto os lugares intermediários só acumulam cartas e nunca jogam. A rodada dura então (53/46) × N M jogadas — cerca de 1,152, menos que sem a regra. As simulações dão 1,15192 ± 0,00034 para dois jogadores.
• Com um número ímpar, a alternância não consegue se fechar. Os lugares se acomodam num padrão que Gaur calcula numericamente, sem fórmula fechada.

Duração da partida por carta para mãos grandes. Linhas tracejadas: Coringa Compra Quatro sempre permitido, perto de 27/19. Linhas contínuas: a regra oficial, que se estabiliza perto de 53/46 para um número par de jogadores. — Figura 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

Vencer, e não só durar

Gaur também colocou 48 estratégias para competir entre si. Com dois jogadores, o equilíbrio é uma única estratégia: guardar os Coringas, jogar primeiro as cartas de ação, anunciar a cor que mais se tem e atacar com cartas de compra e Pular quando o adversário tiver duas cartas ou menos. Ela vence 62,8% das rodadas contra o jogo aleatório. A escolha da cor é o que mais pesa sozinho, elevando a taxa de vitórias de 51% para 58%.

Os limites do artigo são claros: os resultados para mãos grandes descrevem um baralho idealizado (num baralho real, todas as mãos juntas não podem passar de 107 cartas), os jogadores simulados nunca compram voluntariamente, e as 48 estratégias foram construídas à mão. Todo o código é público. O autor diz que um grande modelo de linguagem ajudou na redação e no código de simulação, e que o autor verificou todos os resultados.