一局UNO要打多久？

Pragyaan Gaur写道，UNO是流传最广的纸牌游戏之一，而且它的规则简单到足以进行分析。此前的研究探讨过判断一手牌能否全部打出有多难。Gaur提出了一个更实际的问题：对于N名玩家、每人起始M张牌，一局要进行多少回合——最少、最多和平均各是多少？

整副牌有108张：四种颜色中，每种各有一张0、从1到9的每个数字各两张，以及“跳过”“反转”和“+2”各两张；另有四张万能牌和四张**“+4王牌”（Wild Draw Four）。按照官方规则，只有手中没有当前颜色的牌**的人才能打出“+4王牌”。事实证明，正是这一条规则决定了整个结局。

最短、最长、典型

• 最短。 两人对局时，一局至少持续M个回合：“跳过”“反转”和“+2”都会把回合直接交还给出牌者。三人或以上时，至少2M − 1个回合。对随机发牌进行的精确计算机搜索显示，真实的手牌很少能做到这一点：每人七张牌、两人对局时，在4,000次发牌中，7回合的最小值从未出现过。
• 最长。 按照官方规则，一局没有最大长度，因为玩家总是可以选择摸牌而不出牌，而弃牌堆会被重新洗成新的牌堆。
• 典型。 当玩家总是随机打出一张合法的牌时，5,800万局模拟全部结束了。每人七张牌时，两人局平均持续46.7回合，四人局为50.1回合，十人局为83.1回合。座次很重要：四人对局时，第一位玩家赢下26.0%的局，最后一位为24.3%。

巨型手牌的守恒定律

主要结果涉及非常大的手牌，使用的是一副牌的比例相同、但永远用不完的理想化牌堆。每打出一张“+2”或“+4王牌”，都会让额外的牌进入游戏，而这些额外的牌里又包含更多的罚摸牌，如此循环。如果玩家拿到过的每一张牌最终都被打出，这种平衡就确定了总回合数：

T = (27/19) × N M 回合

常数27/19 ≈ 1.421只取决于牌堆中罚摸牌所占的比例——108张中有8张“+2”和4张“+4王牌”。在任何时候都允许打出“+4王牌”的模拟中，结果会缓慢地趋近这一常数。

囤积

官方规则打破了这条定律。一手大牌中总会有某张当前颜色的牌，因此它永远无法合法地打出“+4王牌”。拿到的每一张都只能留在手里。到主阶段结束时，每位玩家都囤积了约M/23张“+4王牌”。在一局追踪记录的两人对局中，每人手牌1,000张，最终的赢家手上剩下41张牌，几乎全是“+4王牌”，而预测值为43张。

接下来是甩牌残局。一个手里只剩“+4王牌”的玩家，手中没有任何颜色的牌，于是所有这些牌一下子都变得合法了。每打出一张，下一位玩家就要摸四张并跳过一个回合。

• 当玩家人数为偶数时，甩牌会在牌桌上形成闭环：每隔一个座位的人甩牌，而夹在中间的座位只能收牌，永远轮不到出牌。这时一局持续(53/46) × N M个回合——约为1.152，比没有这条规则时更短。两人对局的模拟结果为1.15192 ± 0.00034。
• 当人数为奇数时，这种交替无法闭合。各个座位会进入一种模式，Gaur通过数值方法计算出了它，但没有给出闭式公式。

大手牌时每张牌对应的游戏长度。虚线：“+4王牌”随时可出，接近27/19。实线：官方规则，玩家人数为偶数时稳定在53/46附近。——图3，Gaur（2026），arXiv:2610.14076。

要赢，而不只是撑得久

Gaur还让48种策略相互对战。两人对局时，均衡是一种单一策略：留住万能牌，先出功能牌，指定自己手中最多的颜色，并在对手只剩两张或更少的牌时用罚摸牌和“跳过”发起进攻。它对随机出牌的胜率为62.8%。单独来看，颜色的选择最为关键，能把胜率从51%提高到58%。

这篇论文的局限很明确：大手牌的结果描述的是一副理想化的牌（在真实的牌中，所有手牌加起来不可能超过107张），模拟中的玩家从不主动摸牌，而48种策略是人工设计的。所有代码均已公开。作者表示，一个大语言模型帮助润色了文字并编写了模拟代码，而作者核查了每一项结果。