Uno دی اک کھیڈ کِنی لمی ہوندی اے؟

Pragyaan Gaur لکھدے نیں پئی Uno سب توں ودھ کھیڈیاں جان والیاں تاش دیاں کھیڈاں وچوں اک اے، تے ایہدے اصول اینے سادے نیں پئی اوہناں دا تجزیہ ہو سکے۔ پچھلے کم نے ایہ پڑھیا سی پئی ایہ فیصلہ کرنا کِنا اوکھا اے پئی کوئی ہتھ پورا کھیڈیا جا سکدا اے یا نہیں۔ Gaur اک ہور زمینی سوال پچھدے نیں: N کھڈاریاں لئی، جنہاں وچوں ہر اک M پتیاں نال شروع کردا اے، اک گیڑا کِنیاں واریاں لیندا اے — گھٹ توں گھٹ، ودھ توں ودھ تے اوسطاً؟

گڈی وچ 108 پتے نیں: چاراں رنگاں وچوں ہر اک وچ اک 0، 1 توں 9 تیک ہر نمبر دے دو دو، تے Skip، Reverse تے Draw Two دے دو دو؛ نال چار Wild تے چار Wild Draw Four۔ سرکاری اصولاں تھلے، Wild Draw Four صرف اوہ سُٹ سکدا اے جیہدے کول چلدے رنگ دا کوئی پتا نہ ہووے۔ پتا لگدا اے پئی ایہ اک اصول ای ساری کھیڈ دے انت نوں گھڑدا اے۔

سب توں چھوٹا، سب توں لما، عام

• سب توں چھوٹا۔ دو کھڈاریاں نال اک گیڑا گھٹو گھٹ M واریاں لیندا اے: Skip، Reverse تے Draw Two سارے واری سدھی واپس کر دیندے نیں۔ تن یا ودھ کھڈاریاں نال، گھٹو گھٹ 2M − 1۔ بے ترتیب ونڈاں اُتے اک ٹھیک ٹھیک کمپیوٹر کھوج دسدی اے پئی اصل ہتھ ایہدی گھٹ ای اجازت دیندے نیں: ست پتیاں تے دو کھڈاریاں نال، 4,000 ونڈاں وچ 7 واریاں والا گھٹو گھٹ کدی وی نہیں اپڑیا۔
• سب توں لما۔ سرکاری اصولاں تھلے، اک گیڑے دی کوئی ودھ توں ودھ لمبائی نہیں، کیوں جے کھڈاری سدا کھیڈن دی تھاں پتا چک سکدے نیں، تے سُٹے پتیاں دا ڈھیر رلا کے نویں گڈی بنا دتا جاندا اے۔
• عام۔ اوہناں کھڈاریاں نال جیہڑے سدا کوئی بے ترتیب جائز پتا سُٹدے نیں، 5 کروڑ 80 لکھ نقلی گیڑے سارے مک گئے۔ ست پتیاں نال، اک گیڑا دو کھڈاریاں لئی اوسطاً 46.7 واریاں لیندا اے، چار لئی 50.1 تے دس لئی 83.1۔ بیٹھن دی ترتیب اہم اے: چار کھڈاریاں نال، پہلا کھڈاری 26.0% گیڑے جتدا اے تے اخیرلا 24.3%۔

بہت وڈے ہتھاں لئی اک بچاء دا قانون

مکھ نتیجہ بہت وڈے ہتھاں بارے اے، اک خیالی نہ مکن والی گڈی ورت کے جیہدے وچ پتیاں دا تناسب اوہی اے۔ سُٹیا گیا ہر Draw Two یا Wild Draw Four کھیڈ وچ وادھو پتے لیاؤندا اے، تے ایہناں وادھو پتیاں وچ ہور چکن والے پتے ہوندے نیں، تے اینج ای اگے۔ جے کسے کھڈاری دے کول آیا ہر پتا اخیر سُٹیا جاوے، تاں ایہ توازن کل نوں پکا کر دیندا اے:

T = (27/19) × N M واریاں

مستقل 27/19 ≈ 1.421 صرف گڈی وچ چکن والے پتیاں دے حصے اُتے ٹکیا اے — 108 وچوں 8 Draw Two تے 4 Wild Draw Four۔ اوہ نقلاں جنہاں وچ Wild Draw Four ہر ویلے جائز کیتا گیا، ہولی ہولی ایہدے نیڑے اپڑدیاں نیں۔

ذخیرہ

سرکاری اصول ایس قانون نوں توڑ دیندا اے۔ اک وڈے ہتھ کول سدا چلدے رنگ دا کوئی نہ کوئی پتا ہوندا اے، ایس لئی اوہ کدی وی جائز طور اُتے Wild Draw Four نہیں سُٹ سکدا۔ جیہڑا وی اوہنوں ملدا اے، ہتھ وچ ای رہندا اے۔ مکھ مرحلے دے اخیر تیک، ہر کھڈاری کول تقریباً M/23 Wild Draw Four دا ذخیرہ ہوندا اے۔ 1,000 پتیاں والے ہتھاں نال پچھا کیتی گئی دو کھڈاریاں دی اک کھیڈ وچ، اخیر جتن والا 41 پتیاں تیک اپڑیا، تقریباً سارے Wild Draw Four، جدکہ پیشین گوئی 43 دی سی۔

فیر آؤندا اے سُٹن والا انت۔ جیہڑے کھڈاری کول صرف Wild Draw Four رہ جاندے نیں، اوہدے کول کسے رنگ دا کوئی پتا نہیں ہوندا، ایس لئی سارے اکٹھے جائز ہو جاندے نیں۔ ہر اک اگلے کھڈاری توں چار پتے چکواندا اے تے اوہدی واری کھوہ لیندا اے۔

• جفت گنتی دے کھڈاریاں نال، سُٹنا میز دے دوالے بند ہو جاندا اے: ہر دوجی کرسی سُٹدی اے، جدکہ وچکار والیاں کرسیاں صرف پتے کٹھے کردیاں نیں تے کدی واری نہیں لیندیاں۔ گیڑا فیر (53/46) × N M واریاں لیندا اے — تقریباً 1.152، اصول بنا نالوں چھوٹا۔ نقلاں دو کھڈاریاں لئی 1.15192 ± 0.00034 دیندیاں نیں۔
• طاق گنتی نال، ایہ اَدل بدل بند نہیں ہو سکدی۔ کرسیاں اک اجیہے نمونے وچ ٹِک جاندیاں نیں جیہنوں Gaur عددی طور اُتے کڈھدے نیں، کسے بند فارمولے بنا۔

وڈے ہتھاں لئی فی پتا کھیڈ دی لمبائی۔ ٹٹویاں لکیراں: Wild Draw Four سدا جائز، 27/19 دے نیڑے۔ پکیاں لکیراں: سرکاری اصول، جفت گنتی دے کھڈاریاں لئی 53/46 دے نیڑے ٹکدیاں۔ — Figure 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

جتنا، صرف لما چلنا نہیں

Gaur نے 48 چالاں نوں اک دوجے دے مقابلے وی کھڈایا۔ دو کھڈاریاں نال، توازن (equilibrium) اک ای چال اے: اپنے Wild سانبھ کے رکھو، پہلاں ایکشن پتے سُٹو، اوہ رنگ بولو جیہڑا تہاڈے کول سب توں ودھ اے، تے حملہ کرو چکن والے پتیاں تے Skip نال جدوں مخالف کول دو یا گھٹ پتے رہ جان۔ ایہ بے ترتیب کھیڈ دے مقابلے 62.8% گیڑے جتدی اے۔ کلّی رنگ دی چون سب توں اہم اے، جیہڑی جت دی شرح 51% توں 58% تیک لے جاندی اے۔

مقالے دیاں حداں صاف نیں: وڈے ہتھاں والے نتیجے اک خیالی گڈی نوں بیان کردے نیں (اصل گڈی اُتے سارے ہتھ رل کے 107 پتیاں توں ودھ نہیں ہو سکدے)، نقلی کھڈاری کدی اپنی مرضی نال پتا نہیں چکدے، تے 48 چالاں ہتھ نال بنائیاں گئیاں۔ سارا کوڈ سب لئی کھلا اے۔ لکھاری کہندے نیں پئی اک وڈے زبانی ماڈل نے لفظاں تے نقل دے کوڈ وچ مدد کیتی، تے ہر نتیجہ لکھاری نے آپ پرکھیا۔