ஒரு Uno ஆட்டம் எவ்வளவு நேரம் நீடிக்கும்?

Uno மிகப் பரவலாக ஆடப்படும் சீட்டாட்டங்களில் ஒன்று, அதன் விதிகள் பகுப்பாய்வு செய்யும் அளவுக்கு எளிமையானவை என்று Pragyaan Gaur எழுதுகிறார். ஒரு கையை முழுவதுமாக ஆடி முடிக்க முடியுமா என்பதைத் தீர்மானிப்பது எவ்வளவு கடினம் என்பதை முந்தைய பணிகள் ஆய்வு செய்தன. Gaur இன்னும் நடைமுறையான ஒரு கேள்வியைக் கேட்கிறார்: ஒவ்வொருவரும் M சீட்டுகளுடன் தொடங்கும் N ஆட்டக்காரர்களுக்கு, ஒரு சுற்று எத்தனை முறைகள் நீடிக்கும் — குறைந்தபட்சம், அதிகபட்சம், சராசரியாக?

சீட்டுக்கட்டில் 108 சீட்டுகள்: நான்கு நிறங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு 0, 1 முதல் 9 வரை ஒவ்வோர் எண்ணிலும் இரண்டு, Skip, Reverse, Draw Two ஒவ்வொன்றிலும் இரண்டு; கூடவே நான்கு Wild, நான்கு Wild Draw Four. அதிகாரப்பூர்வ விதிகளின்படி, நடப்பு நிறத்தில் ஒரு சீட்டும் இல்லாதவர் மட்டுமே Wild Draw Four ஆட முடியும். இந்த ஒரே விதிதான் முழு முடிவையும் வடிவமைக்கிறது என்று தெரியவருகிறது.

மிகக் குறுகியது, மிக நீண்டது, வழக்கமானது

• மிகக் குறுகியது. இருவருடன், ஒரு சுற்று குறைந்தது M முறைகள் நீடிக்கும்: Skip, Reverse, Draw Two அனைத்தும் முறையை நேரடியாகத் திருப்பித் தருகின்றன. மூவர் அல்லது அதற்கு மேல், குறைந்தது 2M − 1. சீரற்ற பகிர்வுகள் மீதான துல்லியமான கணினித் தேடல், உண்மையான கைகள் இதை அரிதாகவே அனுமதிக்கின்றன என்று காட்டுகிறது: ஏழு சீட்டுகள், இருவருடன், 4,000 பகிர்வுகளில் 7 முறை குறைந்தபட்சம் ஒருபோதும் எட்டப்படவில்லை.
• மிக நீண்டது. அதிகாரப்பூர்வ விதிகளின்படி, ஒரு சுற்றுக்கு அதிகபட்ச நீளம் இல்லை; ஏனெனில் ஆட்டக்காரர்கள் ஆடுவதற்குப் பதிலாக எப்போதும் சீட்டு எடுக்கலாம், கழித்த சீட்டுக் குவியல் மீண்டும் கலக்கப்பட்டுப் புதிய கட்டாகிறது.
• வழக்கமானது. எப்போதும் ஒரு சீரற்ற முறையான சீட்டை ஆடும் ஆட்டக்காரர்களுடன், உருவகப்படுத்தப்பட்ட 5.8 கோடி சுற்றுகளும் முடிவடைந்தன. ஏழு சீட்டுகளுடன், ஒரு சுற்று இருவருக்குச் சராசரியாக 46.7 முறைகள், நால்வருக்கு 50.1, பதின்மருக்கு 83.1 நீடிக்கிறது. அமரும் வரிசை முக்கியம்: நால்வருடன், முதல் ஆட்டக்காரர் 26.0% சுற்றுகளையும், கடைசி ஆட்டக்காரர் 24.3%-ஐயும் வெல்கின்றனர்.

மாபெரும் கைகளுக்கான ஒரு காப்பு விதி

முதன்மை முடிவு மிகப் பெரிய கைகள் பற்றியது; அதே சீட்டு விகிதங்களைக் கொண்ட, முடிவற்ற, இலட்சியச் சீட்டுக்கட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. ஆடப்படும் ஒவ்வொரு Draw Two அல்லது Wild Draw Four-உம் கூடுதல் சீட்டுகளை ஆட்டத்துக்குள் அனுப்புகிறது; அந்தக் கூடுதல் சீட்டுகளில் மேலும் எடுப்புச் சீட்டுகள் உள்ளன, இப்படியே தொடர்கிறது. ஓர் ஆட்டக்காரர் எப்போதாவது வைத்திருந்த ஒவ்வொரு சீட்டும் இறுதியில் ஆடப்பட்டால், இந்தச் சமநிலை மொத்தத்தை நிர்ணயிக்கிறது:

T = (27/19) × N M முறைகள்

27/19 ≈ 1.421 என்ற மாறிலி, கட்டில் உள்ள எடுப்புச் சீட்டுகளின் பங்கை மட்டுமே சார்ந்தது — 108-இல் 8 Draw Two, 4 Wild Draw Four. Wild Draw Four எப்போதும் முறையானதாக்கப்பட்ட உருவகப்படுத்தல்கள், மெதுவாக அதை நெருங்குகின்றன.

பதுக்கல்

அதிகாரப்பூர்வ விதி இந்த விதியை உடைக்கிறது. ஒரு பெரிய கையில் எப்போதும் நடப்பு நிறத்தின் ஏதோ ஒரு சீட்டு இருக்கும்; எனவே அது ஒருபோதும் முறைப்படி Wild Draw Four ஆட முடியாது. அது பெறும் ஒவ்வொன்றும் கையிலேயே தங்குகிறது. முதன்மைக் கட்டத்தின் முடிவில், ஒவ்வோர் ஆட்டக்காரரும் சுமார் M/23 Wild Draw Four பதுக்கலை வைத்திருக்கிறார். 1,000 சீட்டுக் கைகளுடன் பின்தொடரப்பட்ட இருவர் ஆட்டம் ஒன்றில், இறுதி வெற்றியாளர் 41 சீட்டுகளை எட்டினார், ஏறக்குறைய அனைத்தும் Wild Draw Four; கணிக்கப்பட்டது 43.

பின்னர் ஒரு கொட்டித்தீர்க்கும் இறுதியாட்டம் வருகிறது. Wild Draw Four மட்டுமே எஞ்சியிருக்கும் ஆட்டக்காரரிடம் எந்த நிறச் சீட்டும் இல்லை; எனவே அவை அனைத்தும் ஒரே நேரத்தில் முறையானவையாகின்றன. ஒவ்வொன்றும் அடுத்த ஆட்டக்காரரை நான்கு சீட்டுகள் எடுக்கவும் ஒரு முறையை இழக்கவும் வைக்கிறது.

• இரட்டை எண்ணிக்கையிலான ஆட்டக்காரர்களுடன், கொட்டுதல் மேசையைச் சுற்றி மூடிக்கொள்கிறது: ஒன்றுவிட்டு ஒரு இருக்கை கொட்டுகிறது; இடையிலுள்ள இருக்கைகள் சீட்டுகளைச் சேகரிக்க மட்டுமே செய்கின்றன, ஒருபோதும் முறை பெறுவதில்லை. அப்போது சுற்று (53/46) × N M முறைகள் நீடிக்கிறது — சுமார் 1.152, விதி இல்லாததைவிடக் குறுகியது. உருவகப்படுத்தல்கள் இருவருக்கு 1.15192 ± 0.00034 தருகின்றன.
• ஒற்றை எண்ணிக்கையுடன், இந்த மாறி மாறி வருதல் மூட முடியாது. மூடிய சூத்திரம் இன்றி Gaur எண்ணியல் முறையில் கணக்கிடும் ஒரு முறைமையில் இருக்கைகள் நிலைபெறுகின்றன.

பெரிய கைகளுக்கு ஒரு சீட்டுக்கான ஆட்ட நீளம். புள்ளிக் கோடுகள்: Wild Draw Four எப்போதும் முறையானது, 27/19 அருகில். திடக் கோடுகள்: அதிகாரப்பூர்வ விதி, இரட்டை எண்ணிக்கை ஆட்டக்காரர்களுக்கு 53/46 அருகில் நிலைபெறுகிறது. — Figure 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

நீடிப்பது மட்டுமல்ல, வெல்வதும்

Gaur 48 உத்திகளையும் ஒன்றுக்கொன்று எதிராக மோதவிட்டார். இருவருடன், சமநிலை ஒரே ஓர் உத்தி: உன் Wild சீட்டுகளை வைத்திரு, செயல் சீட்டுகளை முதலில் ஆடு, உன்னிடம் அதிகம் உள்ள நிறத்தைச் சொல், எதிராளி இரண்டு அல்லது அதற்குக் குறைவான சீட்டுகளுக்கு வந்ததும் எடுப்புச் சீட்டுகளாலும் Skip-களாலும் தாக்கு. சீரற்ற ஆட்டத்துக்கு எதிராக அது 62.8% சுற்றுகளை வெல்கிறது. தனியாகப் பார்த்தால் நிறத் தேர்வே மிக முக்கியம்; அது வெற்றி விகிதத்தை 51%-இலிருந்து 58%-க்கு உயர்த்துகிறது.

கட்டுரையின் வரம்புகள் தெளிவானவை: பெரிய கை முடிவுகள் ஓர் இலட்சியச் சீட்டுக்கட்டை விவரிக்கின்றன (உண்மையான கட்டில், அனைத்துக் கைகளும் சேர்ந்து 107 சீட்டுகளைத் தாண்ட முடியாது), உருவகப்படுத்தப்பட்ட ஆட்டக்காரர்கள் ஒருபோதும் விருப்பத்துடன் சீட்டு எடுப்பதில்லை, 48 உத்திகளும் கையால் உருவாக்கப்பட்டவை. எல்லா நிரல்களும் பொதுவில் உள்ளன. சொல்லாக்கத்திலும் உருவகப்படுத்தல் நிரலிலும் ஒரு பெரிய மொழி மாதிரி உதவியதாகவும், ஒவ்வொரு முடிவையும் ஆசிரியரே சரிபார்த்ததாகவும் ஆசிரியர் கூறுகிறார்.