MỘT VÁN UNO KÉO DÀI BAO LÂU?
Pragyaan Gaur viết rằng Uno là một trong những trò chơi bài phổ biến nhất, và luật chơi của nó đủ đơn giản để phân tích. Các công trình trước đây đã nghiên cứu việc xác định một tay bài có thể đánh hết hay không khó đến mức nào. Gaur đặt ra một câu hỏi thực tế hơn: một vòng chơi kéo dài bao nhiêu lượt — tối thiểu, tối đa và trung bình — với N người chơi, mỗi người bắt đầu với M lá bài?
Bộ bài có 108 lá: mỗi màu trong bốn màu có một lá 0, hai lá cho mỗi số từ 1 đến 9, và hai lá mỗi loại Skip (mất lượt), Reverse (đảo chiều) và Draw Two (+2); thêm bốn lá Wild (đổi màu) và bốn lá Wild Draw Four (+4). Theo luật chính thức, lá Wild Draw Four chỉ được đánh bởi người không có lá nào cùng màu hiện tại. Hóa ra chính quy tắc duy nhất đó định hình toàn bộ giai đoạn kết thúc.
Ngắn nhất, dài nhất, điển hình
- Ngắn nhất. Với hai người chơi, một vòng kéo dài ít nhất M lượt: Skip, Reverse và Draw Two đều trả lượt ngay về cho người vừa đánh. Với ba người chơi trở lên, ít nhất là 2M − 1. Một tìm kiếm chính xác bằng máy tính trên các lần chia bài ngẫu nhiên cho thấy những tay bài thực tế hiếm khi cho phép điều đó: với bảy lá và hai người chơi, mức tối thiểu 7 lượt chưa bao giờ đạt được trong 4.000 lần chia.
- Dài nhất. Theo luật chính thức, một vòng chơi không có độ dài tối đa, vì người chơi luôn có thể bốc bài thay vì đánh, và chồng bài đã đánh được xáo lại thành một chồng bài rút mới.
- Điển hình. Với những người chơi luôn đánh ngẫu nhiên một lá hợp lệ, cả 58 triệu vòng chơi mô phỏng đều kết thúc. Với bảy lá, một vòng kéo dài trung bình 46,7 lượt với hai người chơi, 50,1 với bốn người và 83,1 với mười người. Thứ tự chỗ ngồi có ảnh hưởng: với bốn người chơi, người đi đầu tiên thắng 26,0% số vòng và người đi cuối thắng 24,3%.
Một định luật bảo toàn cho những tay bài khổng lồ
Kết quả chính liên quan đến những tay bài rất lớn, dùng một bộ bài vô tận được lý tưởng hóa với cùng tỉ lệ các loại lá. Mỗi lá Draw Two hay Wild Draw Four được đánh ra lại đưa thêm bài vào cuộc chơi, và số bài thêm đó lại chứa thêm lá bốc, cứ thế tiếp diễn. Nếu mọi lá bài mà một người chơi từng cầm cuối cùng đều được đánh ra, thì cán cân này xác định tổng số:
T = (27/19) × N M lượt
Hằng số 27/19 ≈ 1,421 chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ lá bốc trong bộ bài — 8 lá Draw Two và 4 lá Wild Draw Four trên 108 lá. Các mô phỏng trong đó lá Wild Draw Four được phép đánh bất cứ lúc nào tiến dần, một cách chậm chạp, tới giá trị này.
Kho tích trữ
Luật chính thức phá vỡ định luật này. Một tay bài lớn luôn có lá nào đó cùng màu hiện tại, nên nó không bao giờ được đánh hợp lệ lá Wild Draw Four. Mọi lá Wild Draw Four nhận được đều nằm lại trên tay. Đến cuối giai đoạn chính, mỗi người chơi tích trữ khoảng M/23 lá Wild Draw Four. Trong một ván hai người được theo dõi chi tiết với tay bài 1.000 lá, người thắng cuộc cuối cùng có tới 41 lá, gần như toàn bộ là Wild Draw Four, so với con số dự đoán là 43.
Rồi đến màn kết xả bài. Một người chơi chỉ còn lại toàn lá Wild Draw Four thì không còn lá nào thuộc màu nào, nên tất cả các lá đó đồng loạt trở nên hợp lệ. Mỗi lá buộc người chơi kế tiếp bốc bốn lá và mất một lượt.
- Với số người chơi chẵn, việc xả bài khép vòng quanh bàn: cứ cách một chỗ ngồi thì có một người xả bài, trong khi những chỗ ngồi xen giữa chỉ nhận bài và không bao giờ đến lượt. Khi đó vòng chơi kéo dài (53/46) × N M lượt — khoảng 1,152, ngắn hơn so với khi không có quy tắc này. Mô phỏng cho kết quả 1,15192 ± 0,00034 với hai người chơi.
- Với số người lẻ, sự luân phiên này không thể khép vòng. Các chỗ ngồi ổn định theo một kiểu mẫu mà Gaur tính toán bằng phương pháp số, không có công thức dạng đóng.
Độ dài ván chơi tính trên mỗi lá với những tay bài lớn. Đường đứt nét: Wild Draw Four luôn hợp lệ, gần 27/19. Đường liền: luật chính thức, ổn định gần 53/46 với số người chơi chẵn. — Hình 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.
Để thắng, chứ không chỉ để trụ lâu
Gaur cũng cho 48 chiến lược đấu với nhau. Với hai người chơi, điểm cân bằng là một chiến lược duy nhất: giữ lá Wild, đánh lá chức năng trước, gọi màu mà mình có nhiều nhất, và tấn công bằng lá bốc và Skip khi đối thủ chỉ còn hai lá trở xuống. Nó thắng 62,8% số vòng trước lối chơi ngẫu nhiên. Riêng việc chọn màu là yếu tố quan trọng nhất, nâng tỉ lệ thắng từ 51% lên 58%.
Những giới hạn của bài báo rất rõ ràng: các kết quả về tay bài lớn mô tả một bộ bài lý tưởng hóa (với bộ bài thật, tất cả các tay bài cộng lại không thể vượt quá 107 lá), người chơi mô phỏng không bao giờ tự nguyện bốc bài, và 48 chiến lược được xây dựng thủ công. Toàn bộ mã nguồn đều công khai. Tác giả cho biết một mô hình ngôn ngữ lớn đã hỗ trợ phần diễn đạt và mã mô phỏng, và tác giả đã tự kiểm tra mọi kết quả.