BİR UNO OYUNU NE KADAR SÜRER?

Pragyaan Gaur’un yazdığına göre Uno en çok oynanan kart oyunlarından biri ve kuralları analiz edilebilecek kadar basit. Önceki çalışmalar bir elin tamamen oynanıp oynanamayacağına karar vermenin ne kadar zor olduğunu inceledi. Gaur daha gündelik bir soru soruyor: her biri M kartla başlayan N oyuncu için bir el kaç tur sürer — en az, en çok ve ortalama olarak?

Destede 108 kart var: dört rengin her birinde bir 0, 1’den 9’a kadar her sayıdan ikişer tane ve Skip, Reverse ve Draw Two’dan ikişer tane; artı dört Wild ve dört Wild Draw Four. Resmi kurallara göre bir Wild Draw Four’u yalnızca o anki renkten hiç kartı olmayan biri oynayabilir. Bu tek kuralın tüm oyun sonunu biçimlendirdiği ortaya çıkıyor.

En kısa, en uzun, tipik

• En kısa. İki oyuncuyla bir el en az M tur sürer: Skip, Reverse ve Draw Two’nun hepsi sırayı doğrudan geri verir. Üç ya da daha fazla oyuncuyla en az 2M − 1. Rastgele dağıtımlar üzerinde kesin bir bilgisayar araması, gerçek ellerin buna nadiren izin verdiğini gösteriyor: yedi kart ve iki oyuncuyla 4.000 dağıtımda 7 turluk minimuma hiç ulaşılmadı.
• En uzun. Resmi kurallara göre bir elin azami uzunluğu yok, çünkü oyuncular her zaman oynamak yerine kart çekebilir ve atık yığını karıştırılarak yeni bir deste yapılır.
• Tipik. Her zaman rastgele bir geçerli kart oynayan oyuncularla simüle edilen 58 milyon elin hepsi bitti. Yedi kartla bir el iki oyuncu için ortalama 46,7 tur, dört oyuncu için 50,1 ve on oyuncu için 83,1 tur sürüyor. Oturma sırası önemli: dört oyuncuyla ilk oyuncu ellerin %26,0’ını, son oyuncu %24,3’ünü kazanıyor.

Dev eller için bir korunum yasası

Ana sonuç, aynı kart oranlarına sahip idealleştirilmiş sonsuz bir deste kullanan çok büyük ellerle ilgili. Oynanan her Draw Two ya da Wild Draw Four oyuna fazladan kart sokar ve bu fazladan kartlar daha fazla çekme kartı içerir, böyle sürüp gider. Bir oyuncunun elinde tuttuğu her kart sonunda oynanırsa, bu denge toplamı belirler:

T = (27/19) × N M tur

27/19 ≈ 1,421 sabiti yalnızca destedeki çekme kartlarının payına bağlı — 108 karttan 8 Draw Two ve 4 Wild Draw Four. Wild Draw Four’un her zaman oynanabildiği simülasyonlar bu değere yavaş yavaş yaklaşıyor.

İstif

Resmi kural bu yasayı bozuyor. Büyük bir elde her zaman o anki renkten bir kart bulunur, bu yüzden el hiçbir zaman bir Wild Draw Four’u kurala uygun oynayamaz. Aldığı her biri elde kalır. Ana evrenin sonunda her oyuncu yaklaşık M/23 Wild Draw Four’luk bir istif tutuyor. 1.000 kartlık ellerle izlenen iki oyunculu bir oyunda, sonunda kazanan oyuncu 41 karta ulaştı; neredeyse hepsi Wild Draw Four’du, öngörülen ise 43’tü.

Ardından bir boşaltma oyun sonu geliyor. Elinde yalnızca Wild Draw Four kalan oyuncunun hiçbir renkten kartı yoktur, bu yüzden hepsi birden geçerli hale gelir. Her biri bir sonraki oyuncuya dört kart çektirir ve onun sırasını kaçırtır.

• Çift sayıda oyuncuyla boşaltma masanın etrafında kapanıyor: her iki koltuktan biri boşaltıyor, aradaki koltuklar ise yalnızca kart topluyor ve hiç sıra almıyor. El bu durumda (53/46) × N M tur sürüyor — yaklaşık 1,152; kural olmadan olacağından daha kısa. Simülasyonlar iki oyuncu için 1,15192 ± 0,00034 veriyor.
• Tek sayıyla bu dönüşüm kapanamıyor. Koltuklar, Gaur’un kapalı bir formül olmadan sayısal olarak hesapladığı bir örüntüye oturuyor.

Büyük eller için kart başına oyun uzunluğu. Kesikli çizgiler: Wild Draw Four her zaman geçerli, 27/19 civarında. Düz çizgiler: resmi kural, çift sayıda oyuncu için 53/46 civarına oturuyor. — Figure 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

Sadece sürmek değil, kazanmak

Gaur ayrıca 48 stratejiyi birbirine karşı yarıştırdı. İki oyuncuyla denge tek bir strateji: Wild’larını sakla, önce aksiyon kartlarını oyna, en çok tuttuğun rengi söyle ve rakip iki ya da daha az karta indiğinde çekme kartları ve Skip’lerle saldır. Rastgele oyuna karşı ellerin %62,8’ini kazanıyor. Tek başına en çok renk seçimi önemli; kazanma oranını %51’den %58’e çıkarıyor.

Makalenin sınırları açık: büyük el sonuçları idealleştirilmiş bir desteyi tanımlıyor (gerçek bir destede tüm eller toplamda 107 kartı aşamaz), simüle edilen oyuncular hiçbir zaman isteğe bağlı kart çekmiyor ve 48 strateji elle oluşturuldu. Tüm kodlar herkese açık. Yazar, büyük bir dil modelinin ifadelerde ve simülasyon kodunda yardımcı olduğunu ve her sonucu yazarın kontrol ettiğini söylüyor.