এক দান UNO কতক্ষণ চলে?

প্রজ্ঞান গৌড় লিখেছেন, Uno সবচেয়ে বেশি খেলা তাসের খেলাগুলোর একটি, আর এর নিয়ম বিশ্লেষণ করার মতো যথেষ্ট সহজ। আগের গবেষণা দেখেছিল, একটি হাত পুরোটা খেলে শেষ করা যায় কি না তা নির্ধারণ করা কতটা কঠিন। গৌড় আরও মাটির কাছাকাছি একটি প্রশ্ন করেছেন: N জন খেলোয়াড়, যাঁরা প্রত্যেকে M টি তাস নিয়ে শুরু করেন, তাঁদের জন্য একটি রাউন্ড কত চাল ধরে চলে — সর্বনিম্ন, সর্বোচ্চ আর গড়ে?

প্যাকেটে ১০৮টি তাস: চারটি রঙের প্রতিটিতে একটি ০, ১ থেকে ৯ পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যার দুটি করে, আর স্কিপ, রিভার্স ও ড্র টু-র দুটি করে; এর সঙ্গে চারটি ওয়াইল্ড আর চারটি ওয়াইল্ড ড্র ফোর। আনুষ্ঠানিক নিয়মে ওয়াইল্ড ড্র ফোর খেলতে পারেন কেবল তিনিই, যাঁর হাতে বর্তমান রঙের কোনো তাস নেই। দেখা যাচ্ছে, এই একটি নিয়মই পুরো সমাপ্তিকে গড়ে দেয়।

ক্ষুদ্রতম, দীর্ঘতম, সাধারণ

• ক্ষুদ্রতম। দুজন খেলোয়াড়ে একটি রাউন্ড অন্তত M চাল চলে: স্কিপ, রিভার্স আর ড্র টু সবই চাল সরাসরি ফিরিয়ে দেয়। তিন বা তার বেশি খেলোয়াড়ে অন্তত 2M − 1। এলোমেলো বাঁটার ওপর একটি নিখুঁত কম্পিউটার-অনুসন্ধান দেখায় যে আসল হাতে এটা কদাচিৎ সম্ভব: সাতটি তাস আর দুজন খেলোয়াড়ে ৪,০০০ বাঁটায় ৭ চালের সর্বনিম্ন একবারও ছোঁয়া যায়নি।
• দীর্ঘতম। আনুষ্ঠানিক নিয়মে একটি রাউন্ডের কোনো সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য নেই, কারণ খেলোয়াড়েরা সবসময় খেলার বদলে তাস তুলতে পারেন, আর ফেলা তাসের স্তূপ আবার ফেটিয়ে নতুন প্যাকেট বানানো হয়।
• সাধারণ। সবসময় এলোমেলো একটি বৈধ তাস খেলেন এমন খেলোয়াড়দের নিয়ে ৫ কোটি ৮০ লাখ সিমুলেটেড রাউন্ডের সবকটিই শেষ হয়েছে। সাতটি তাসে একটি রাউন্ড দুজনের জন্য গড়ে ৪৬.৭ চাল, চারজনের জন্য ৫০.১ আর দশজনের জন্য ৮৩.১ চাল চলে। বসার ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: চারজন খেলোয়াড়ে প্রথম খেলোয়াড় ২৬.০% রাউন্ড জেতেন আর শেষজন ২৪.৩%।

বিশাল হাতের জন্য একটি সংরক্ষণ সূত্র

মূল ফলাফলটি খুব বড় হাত নিয়ে, একই অনুপাতের তাসসহ একটি আদর্শ অফুরন্ত প্যাকেট ধরে। খেলা প্রতিটি ড্র টু বা ওয়াইল্ড ড্র ফোর বাড়তি তাস খেলায় পাঠায়, আর সেই বাড়তি তাসে থাকে আরও ড্র-তাস, এভাবে চলতে থাকে। কোনো খেলোয়াড়ের হাতে কখনো আসা প্রতিটি তাস যদি শেষমেশ খেলা হয়, তবে এই ভারসাম্য মোট সংখ্যা ঠিক করে দেয়:

T = (27/19) × N M চাল

ধ্রুবক 27/19 ≈ 1.421 কেবল প্যাকেটে ড্র-তাসের অংশের ওপর নির্ভর করে — ১০৮টির মধ্যে ৮টি ড্র টু আর ৪টি ওয়াইল্ড ড্র ফোর। যেসব সিমুলেশনে ওয়াইল্ড ড্র ফোরকে যেকোনো সময় বৈধ করা হয়েছে, সেগুলো ধীরে ধীরে এর কাছে পৌঁছায়।

মজুত

আনুষ্ঠানিক নিয়ম এই সূত্র ভেঙে দেয়। একটি বড় হাতে সবসময় বর্তমান রঙের কোনো না কোনো তাস থাকে, তাই তা কখনোই বৈধভাবে ওয়াইল্ড ড্র ফোর খেলতে পারে না। যতগুলো আসে, সবই হাতে থেকে যায়। মূল পর্বের শেষে প্রত্যেক খেলোয়াড়ের কাছে প্রায় M/23টি ওয়াইল্ড ড্র ফোরের মজুত জমে। ১,০০০ তাসের হাত নিয়ে দুজনের একটি অনুসৃত খেলায় শেষ বিজয়ীর হাতে পৌঁছেছিল ৪১টি তাস, প্রায় সবই ওয়াইল্ড ড্র ফোর, যেখানে পূর্বাভাস ছিল ৪৩।

তারপর আসে একটি তাস-ফেলার সমাপ্তি। যে খেলোয়াড়ের হাতে কেবল ওয়াইল্ড ড্র ফোর বাকি, তাঁর কাছে কোনো রঙের তাসই নেই, তাই সবগুলো একসঙ্গে বৈধ হয়ে যায়। প্রতিটি পরের খেলোয়াড়কে চারটি তাস তুলতে আর একটি চাল হারাতে বাধ্য করে।

• জোড় সংখ্যক খেলোয়াড়ে তাস-ফেলাটি টেবিল ঘিরে একটি বন্ধ চক্র তৈরি করে: একটি অন্তর একটি আসন তাস ফেলে, আর মাঝের আসনগুলো কেবল তাস জমায় এবং কখনো চাল পায় না। তখন রাউন্ডটি (53/46) × N M চাল চলে — প্রায় ১.১৫২, নিয়ম ছাড়া যা হতো তার চেয়ে ছোট। দুজন খেলোয়াড়ের জন্য সিমুলেশন দেয় ১.১৫১৯২ ± ০.০০০৩৪।
• বিজোড় সংখ্যায় এই পালাবদল বন্ধ হতে পারে না। আসনগুলো একটি ধারায় থিতু হয়, যা গৌড় সাংখ্যিকভাবে হিসাব করেছেন, কোনো বদ্ধ সূত্র ছাড়াই।

বড় হাতের জন্য প্রতি তাসে খেলার দৈর্ঘ্য। ড্যাশযুক্ত রেখা: ওয়াইল্ড ড্র ফোর সবসময় বৈধ, 27/19-এর কাছে। নিরেট রেখা: আনুষ্ঠানিক নিয়ম, জোড় সংখ্যক খেলোয়াড়ে 53/46-এর কাছে থিতু। — চিত্র ৩, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

জেতা, কেবল টিকে থাকা নয়

গৌড় ৪৮টি কৌশলকে একে অপরের বিরুদ্ধেও লড়িয়েছেন। দুজন খেলোয়াড়ে ভারসাম্য একটিমাত্র কৌশল: ওয়াইল্ড তাস ধরে রাখুন, আগে অ্যাকশন তাস খেলুন, যে রঙ আপনার কাছে সবচেয়ে বেশি সেটি ঘোষণা করুন, আর আক্রমণ করুন ড্র-তাস ও স্কিপ দিয়ে, যখন প্রতিপক্ষের হাতে দুটি বা তার কম তাস থাকে। এটি এলোমেলো খেলার বিরুদ্ধে ৬২.৮% রাউন্ড জেতে। এককভাবে রঙ বাছাই সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, জয়ের হার ৫১% থেকে ৫৮%-এ তোলে।

গবেষণাপত্রের সীমাবদ্ধতা স্পষ্ট: বড় হাতের ফলাফল একটি আদর্শ প্যাকেটের বর্ণনা দেয় (আসল প্যাকেটে সব হাত মিলিয়ে ১০৭টির বেশি তাস হতে পারে না), সিমুলেটেড খেলোয়াড়েরা কখনো স্বেচ্ছায় তাস তোলেন না, আর ৪৮টি কৌশল হাতে বানানো। সব কোড উন্মুক্ত। লেখক জানিয়েছেন, একটি বৃহৎ ভাষা-মডেল ভাষা আর সিমুলেশন কোডে সাহায্য করেছে, এবং লেখক প্রতিটি ফলাফল যাচাই করেছেন।