СКОЛЬКО ДЛИТСЯ ПАРТИЯ В УНО?

Уно, пишет Прагьяан Гаур, — одна из самых популярных карточных игр, и её правила достаточно просты для анализа. Прежние работы изучали, насколько трудно определить, можно ли сыграть все карты с руки. Гаур задаёт более приземлённый вопрос: сколько ходов длится раунд — минимум, максимум и в среднем — для N игроков, у каждого из которых в начале M карт?

В колоде 108 карт: в каждом из четырёх цветов одна карта 0, по две каждой цифры от 1 до 9 и по две карты «Пропусти ход», «Смена направления» и «Возьми две»; плюс четыре карты «Закажи цвет» и четыре «Закажи цвет + возьми четыре». По официальным правилам «Закажи цвет + возьми четыре» может сыграть только тот, у кого нет ни одной карты текущего цвета. Как выясняется, именно это единственное правило определяет весь финал.

Самый короткий, самый длинный, типичный

• Самый короткий. При двух игроках раунд длится не меньше M ходов: «Пропусти ход», «Смена направления» и «Возьми две» сразу возвращают ход. При трёх и более игроках — не меньше 2M − 1. Точный компьютерный перебор случайных раздач показывает, что реальные наборы карт редко это позволяют: с семью картами и двумя игроками минимум в 7 ходов ни разу не был достигнут в 4000 раздач.
• Самый длинный. По официальным правилам у раунда нет максимальной длительности, поскольку игроки всегда могут тянуть карту вместо того, чтобы ходить, а сброс перетасовывается в новую колоду.
• Типичный. С игроками, которые всегда играют случайную разрешённую карту, все 58 миллионов смоделированных раундов завершились. С семью картами раунд длится в среднем 46,7 хода для двух игроков, 50,1 для четырёх и 83,1 для десяти. Порядок мест имеет значение: при четырёх игроках первый выигрывает 26,0% раундов, а последний — 24,3%.

Закон сохранения для гигантских рук

Главный результат касается очень больших наборов карт и идеализированной бесконечной колоды с теми же пропорциями карт. Каждая сыгранная «Возьми две» или «Закажи цвет + возьми четыре» вводит в игру дополнительные карты, среди которых есть новые карты взятия, и так далее. Если каждая карта, когда-либо оказавшаяся у игрока в руке, в конце концов сыграна, этот баланс фиксирует итог:

T = (27/19) × N M ходов

Константа 27/19 ≈ 1,421 зависит только от доли карт взятия в колоде — 8 «Возьми две» и 4 «Закажи цвет + возьми четыре» из 108. Моделирование, в котором «Закажи цвет + возьми четыре» разрешена в любой момент, медленно к ней приближается.

Запас

Официальное правило нарушает этот закон. В большой руке всегда есть какая-нибудь карта текущего цвета, поэтому она никогда не может законно сыграть «Закажи цвет + возьми четыре». Каждая полученная такая карта остаётся в руке. К концу основной фазы у каждого игрока скапливается запас примерно в M/23 карт «Закажи цвет + возьми четыре». В одной отслеженной партии двух игроков с наборами по 1000 карт будущий победитель накопил 41 карту, почти все — «Закажи цвет + возьми четыре», против предсказанных 43.

Затем наступает эндшпиль сбрасывания. У игрока, у которого остались только «Закажи цвет + возьми четыре», нет карт ни одного цвета, поэтому все они разом становятся разрешёнными. Каждая заставляет следующего игрока взять четыре карты и пропустить ход.

• При чётном числе игроков сбрасывание замыкается вокруг стола: сбрасывает каждое второе место, а места между ними только набирают карты и так и не получают хода. Тогда раунд длится (53/46) × N M ходов — около 1,152, то есть меньше, чем без этого правила. Моделирование даёт 1,15192 ± 0,00034 для двух игроков.
• При нечётном числе чередование замкнуться не может. Места выстраиваются в узор, который Гаур рассчитывает численно, без замкнутой формулы.

Длительность игры на одну карту для больших рук. Штриховые линии: «Закажи цвет + возьми четыре» разрешена всегда, около 27/19. Сплошные линии: официальное правило, устанавливающееся около 53/46 при чётном числе игроков. — Рисунок 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.

Выигрывать, а не только продержаться

Гаур также столкнул между собой 48 стратегий. При двух игроках равновесием оказывается единственная стратегия: придерживать карты «Закажи цвет», первыми играть карты действия, называть цвет, которого на руках больше всего, и атаковать картами взятия и «Пропусти ход», когда у соперника остаётся две карты или меньше. Она выигрывает 62,8% раундов против случайной игры. Больше всего сам по себе значит выбор цвета: он поднимает долю побед с 51% до 58%.

Ограничения работы очевидны: результаты для больших рук описывают идеализированную колоду (в реальной колоде все руки вместе не могут превышать 107 карт), смоделированные игроки никогда не тянут карты добровольно, а 48 стратегий были составлены вручную. Весь код открыт. Автор сообщает, что большая языковая модель помогала с формулировками и с кодом моделирования и что автор проверил каждый результат.