COMBIEN DE TEMPS DURE UNE PARTIE DE UNO ?
Le Uno, écrit Pragyaan Gaur, est l’un des jeux de cartes les plus joués, et ses règles sont assez simples pour être analysées. Des travaux antérieurs ont étudié à quel point il est difficile de décider si une main peut être entièrement jouée. L’étude pose une question plus terre à terre : combien de tours dure une manche — au minimum, au maximum et en moyenne — pour N joueurs qui commencent chacun avec M cartes ?
Le paquet compte 108 cartes : dans chacune des quatre couleurs, un 0, deux de chaque chiffre de 1 à 9, et deux Passe, deux Inversion et deux +2 ; plus quatre Jokers et quatre Jokers +4. Selon les règles officielles, un +4 ne peut être joué que par quelqu’un qui n’a aucune carte de la couleur demandée. Cette seule règle façonne toute la fin de partie.
Le plus court, le plus long, le typique
- Le plus court. À deux joueurs, une manche dure au moins M tours : Passe, Inversion et +2 rendent tous la main aussitôt. À trois joueurs ou plus, au moins 2M − 1. Une recherche exhaustive par ordinateur sur des donnes aléatoires montre que les vraies mains le permettent rarement : avec sept cartes et deux joueurs, le minimum de 7 tours n’a jamais été atteint en 4 000 donnes.
- Le plus long. Selon les règles officielles, une manche n’a aucune durée maximale, puisqu’on peut toujours piocher au lieu de jouer, et que la défausse est remélangée pour refaire une pioche.
- Le typique. Avec des joueurs qui jouent toujours une carte légale au hasard, 58 millions de manches simulées se sont toutes terminées. Avec sept cartes, une manche dure en moyenne 46,7 tours à deux joueurs, 50,1 à quatre et 83,1 à dix. La place compte : à quatre joueurs, le premier gagne 26,0 % des manches, le dernier 24,3 %.
Une loi de conservation pour mains géantes
Le résultat principal concerne les très grandes mains, avec un paquet idéalisé sans fin aux mêmes proportions de cartes. Chaque +2 ou +4 joué fait entrer des cartes supplémentaires en jeu, qui contiennent elles-mêmes d’autres cartes de pioche, et ainsi de suite. Si chaque carte détenue par un joueur finit par être jouée, cet équilibre fixe le total :
T = (27/19) × N M tours
La constante 27/19 ≈ 1,421 ne dépend que de la part de cartes de pioche dans le paquet — 8 +2 et 4 +4 sur 108. Les simulations où le +4 est permis à tout moment s’en approchent, lentement.
Le magot
La règle officielle brise cette loi. Une grande main contient toujours une carte de la couleur demandée : elle ne peut donc jamais jouer légalement un +4. Chaque +4 reçu reste dans la main. À la fin de la phase principale, chaque joueur détient un magot d’environ M/23 +4. Dans une partie à deux joueurs suivie en détail, avec des mains de 1 000 cartes, le futur gagnant est arrivé à 41 cartes, presque toutes des +4, contre 43 prévues.
Vient alors une fin de partie de déversement. Un joueur qui n’a plus que des +4 n’a aucune carte d’aucune couleur : tous deviennent jouables d’un coup. Chacun oblige le joueur suivant à piocher quatre cartes et à passer son tour.
- Avec un nombre pair de joueurs, le déversement fait le tour de la table : un siège sur deux déverse, tandis que les sièges intermédiaires ne font qu’encaisser des cartes et ne jouent jamais. La manche dure alors (53/46) × N M tours — environ 1,152, moins que sans la règle. Les simulations donnent 1,15192 ± 0,00034 à deux joueurs.
- Avec un nombre impair, l’alternance ne peut pas boucler. Les sièges s’installent dans un motif que l’étude calcule numériquement, sans formule exacte.
Durée de partie par carte pour de grandes mains. Pointillés : +4 toujours permis, près de 27/19. Traits pleins : règle officielle, qui se stabilise près de 53/46 pour un nombre pair de joueurs. — Figure 3, Gaur (2026), arXiv:2610.14076.
Gagner, pas seulement durer
L’étude a aussi opposé 48 stratégies entre elles. À deux joueurs, l’équilibre est une seule stratégie : garder ses jokers, jouer les cartes action d’abord, annoncer la couleur qu’on a le plus, et attaquer avec les cartes de pioche et les Passe quand l’adversaire n’a plus que deux cartes ou moins. Elle gagne 62,8 % des manches contre un jeu au hasard. Le choix de la couleur compte le plus à lui seul, faisant passer le taux de victoire de 51 % à 58 %.
Les limites de l’étude sont claires : les résultats sur les grandes mains décrivent un paquet idéalisé (sur un vrai paquet, l’ensemble des mains ne peut dépasser 107 cartes), les joueurs simulés ne piochent jamais volontairement, et les 48 stratégies ont été construites à la main. Tout le code est public. L’auteur indique qu’un grand modèle de langage a aidé à la rédaction et au code de simulation, et que chaque résultat a été vérifié par l’auteur.