أحجية موندريان: فارق يكفّ عن النمو

يشتهر الرسام الهولندي بيت موندريان قبل كل شيء بأعماله من حركة دي ستايل (De Stijl)، المؤلفة في معظمها من مستطيلات ملوّنة. وقد استعارها علماء الرياضيات لأحجية تبدو بسيطة على نحو خادع. خذ لوحة مربعة طول ضلعها n. اقطعها إلى مستطيلات أضلاعها أعداد صحيحة، وكلها موازية للحواف. قاعدة واحدة: لا يجوز أن يكون لمستطيلين الشكل نفسه، حتى بعد تدوير أحدهما ربع دورة — فلا يمكن لمستطيل 2 × 3 ومستطيل 3 × 2 أن يتقاسما اللوحة.

قارن الآن مساحاتها. الفرق بين أكبرها وأصغرها هو العيب. والسؤال: إلى أي حد يمكن أن يصغر؟

التقطيع المثالي الذي لم يعثر عليه أحد

التقطيع ذو العيب الصفري يكون مثاليًا: مستطيلات مختلفة الشكل كلها، لكنها كلها متساوية المساحة تمامًا. ولا يكفي تساوي المساحات وحده؛ بل يجب أيضًا أن تتلاءم القطع معًا بلا فراغ ولا تداخل. ولا أحد يعرف ما إذا كان يوجد تقطيع مثالي لأي مربع. وقد استُبعد لكل الأضلاع حتى 1000، والاعتقاد السائد أنه لا يوجد.

ووراء هذا الاعتقاد اعتقاد أوسع: أن أصغر عيب ممكن، ويُكتب M(n)، يكبر مع حجم المربع. وبدت الأمثلة المعروفة، حتى n = 900، تؤكد ذلك. وفي مسودة بحثية من سبتمبر 2026، قدّم فريق آخر أول حد أعلى غير بديهي، M(n) ≤ 10 n^(5/6) — وهو فارق ما زال بإمكانه أن يكبر بلا نهاية.

سبعة مستطيلات و√19

انطلق Cooper O’Kuhn وFreeman Slaughter من جامعة جنوب فلوريدا من طرفة معروفة: طريقة لتقطيع مربع إلى سبعة مستطيلات مختلفة متساوية المساحة تمامًا. والمشكلة أن أضلاعها ليست أعدادًا صحيحة؛ إذ تتضمن √19، وهو عدد غير نسبي.

فكرتهما أن يستبدلا بـ√19 كسورًا p/q تقرّبه على نحو متزايد الدقة. والأداة المناسبة معادلة مدروسة جيدًا في نظرية الأعداد، هي معادلة بيل: هنا يجب أن يبقى p² − 19q² ثابتًا. وبهذا الاختيار تصبح الأضلاع أعدادًا صحيحة، ولا يتوقف تشتت المساحات إلا على تلك القيمة الثابتة — لا على مدى كبر الأعداد. ويبيّنان أن العيب يساوي بالضبط 140 × |p² − 19q²|.

مربع الـ315

أصغر حالة تستخدم p = 13 وq = 3، اللذين يحققان 13² − 19 × 3² = −2. وتعطي مربعًا طول ضلعه 315 مقطّعًا إلى:

259 × 55، و56 × 255، و238 × 60، و77 × 185، و189 × 75، و70 × 200، و112 × 125.

أكبر مساحة هي 238 × 60 = 14280؛ وأصغرها 70 × 200 = 14000. والعيب 280. ومجموع المساحات السبع 99225، وهو بالفعل 315 × 315.

280 إلى الأبد

ثم يتكرر البناء. فأطوال الأضلاع تتبع قاعدة بسيطة: 315، ثم 106785، ثم كل ضلع جديد يساوي 340 ضعف سابقه ناقص الذي قبله — 36306585، ثم 12344132115، وهكذا بلا نهاية. ويمكن تقطيع كل واحد من هذه المربعات إلى سبعة مستطيلات مختلفة بعيب قدره 280 بالضبط.

إذن فالعيب الأدنى لا يستمر في الكبر. وبعبارة المؤلفَين، لا يمكن حتى أن توجد دالة تؤول إلى اللانهاية — خطية أو لوغاريتمية أو غير ذلك — وتبقى تحت M(n) لكل مربع كبير بما يكفي. وهذا يُسقط حدسية يصفانها بأنها مفتوحة منذ طُرحت المسألة أول مرة. ويعطي شكل معدّل من الطريقة نفسها، لأي عدد صحيح k، عددًا لا نهائيًا من المربعات التي يقبل طول ضلعها القسمة على k، بعيب لا يتجاوز 560.

ما زال لا مربع مثاليًا

لا تقول النتيجة شيئًا عن المربعات خارج هذه العائلة، ولا تستبعد تقطيعًا مثاليًا. بل يبرهن المؤلفان أن هذا النوع من التقطيع إلى سبعة مستطيلات لا يمكن أبدًا أن ينزل دون 280: فالعيب الصفري يجب أن يأتي من فكرة مختلفة كليًا. ويحدسان أن 280 هو أفضل ما يمكن لهذه المستطيلات السبعة أن تحققه، ويقترحان أن اللوحات المستطيلة قد تفعل أفضل من ذلك، ويتوقعان «سلسلة سريعة من التحسينات المتتالية». وتبقى مسألة وجود مربع موندريان مثالي مفتوحة — لكن الحجة القائلة إنه لا يمكن أن يوجد لأن الفارق لا بد أن يكبر قد زالت.